Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler
Bir iktisadi araştırmada, bir bölgedeki gelir dağılımı x≥1x \geq 1 ve θ>0\theta > 0 olmak üzere f(x;θ)=θx−(θ+1)f(x; \theta) = \theta x^{-(\theta+1)} olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Pareto dağılımı ile modellenmektedir. Bu kitle içinden seçilen nn birimlik bir rastgele örneklem için θ\theta parametresine ait tam (complete) yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?
  1. ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_iCevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    Xˉ\bar{X}
  4. D
    X(1)X_{(1)}
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

θ\theta parametresine ait tam yeterli istatistik ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_i ifadesidir.
Pareto dağılımı, alt sınır sabit olduğunda tek parametreli bir üstel ailedir. Fonksiyon exp⁡(−θln⁡x+ln⁡θ−ln⁡x)\exp(-\theta \ln x + \ln \theta - \ln x) şeklinde yazıldığında, ln⁡x\ln x ifadesinin toplamı olan ∑ln⁡Xi\sum \ln X_i doğal yeterli istatistik olur. Parametre uzayı açık bir küme olduğundan, bu istatistik üstel ailelerin genel özelliği gereği tamdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile formunda yazın.
f(x;θ)=exp⁡(ln⁡θ−(θ+1)ln⁡x)=exp⁡(ln⁡θ−ln⁡x−θln⁡x)f(x; \theta) = \exp(\ln \theta - (\theta+1) \ln x) = \exp(\ln \theta - \ln x - \theta \ln x)
Bir dağılımın üstel aileye mensup olup olmadığını anlamak için genel forma getirilmesi gerekir.
2
Fonksiyonu h(x)c(θ)exp⁡(w(θ)t(x))h(x) c(\theta) \exp(w(\theta) t(x)) formuna ayırın.
h(x)=1xh(x) = \frac{1}{x}, c(θ)=θc(\theta) = \theta, w(θ)=−θw(\theta) = -\theta, t(x)=ln⁡xt(x) = \ln x
Yeterli istatistik t(x)t(x) bileşeninden türetilir.
3
Örneklem için yeterli istatistiği belirleyin ve tamlık özelliğini kontrol edin.
T(X)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i. Parametre uzayı (0,∞)(0, \infty) açık bir aralık içerdiği için bu istatistik tamdır.
Düzenli üstel ailelerde doğal yeterli istatistikler aynı zamanda tamdır.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık Teoremi

Daha Fazla Pratik

Bu tam yeterli istatistiğin bir fonksiyonunu kullanarak Lehmann-Scheffe teoremi yardımıyla θ\theta için UMVUE tahmin edicisini bulmaya çalışın.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru