Examkin

Soru

Zorluk: KolayRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir baraj gölündeki su seviyesinin günlük değişimi basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Başlangıçta su seviyesi referans noktası olan 00 (X0=0X_0 = 0) seviyesinde kabul edilmiştir. Her gün su seviyesinin 11 birim yükselme olasılığı p=0,6p = 0,6 ve 11 birim alçalma olasılığı q=0,4q = 0,4 olup, günlük değişimler birbirinden bağımsızdır. Buna göre, 1010 günün sonunda su seviyesinin beklenen değeri (E[X10]E[X_{10}]) kaçtır?

  1. 2Cevap
  2. B
    6
  3. C
    4
  4. D
    0,2
  5. E
    10

Cevap

10 günün sonunda su seviyesinin beklenen değeri 2 birimdir.
Rassal yürüyüşte beklenen değer, adım sayısı ile bir adımdaki ortalama değişimin çarpımıdır. Bir adımda +1+1 olasılığı 0,60,6 ve −1-1 olasılığı 0,40,4 olduğundan, bir adımdaki ortalama değişim 0,6−0,4=0,20,6 - 0,4 = 0,2 olur. 1010 adım için bu değer 10×0,2=210 \times 0,2 = 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir adımdaki değişim miktarının beklenen değerini hesaplayınız.
E[Zi]=(1×0,6)+(−1×0,4)=0,2E[Z_i] = (1 \times 0,6) + (-1 \times 0,4) = 0,2
Rassal yürüyüşte her adım bağımsız ve aynı dağılımlı birer rastgele değişkendir.
2
Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak 10 adım sonundaki toplam beklenen değeri bulunuz.
E[X10]=E[∑i=110Zi]=10×E[Zi]=10×0,2=2E[X_{10}] = E[\sum_{i=1}^{10} Z_i] = 10 \times E[Z_i] = 10 \times 0,2 = 2
n adım sonraki toplam konum, başlangıç konumu ile her bir adımdaki değişimlerin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Basit Rassal Yürüyüşte Beklenen Değer

Daha Fazla Pratik

Eğer p = q = 0,5 (simetrik rassal yürüyüş) olsaydı, n adım sonundaki beklenen değerin her zaman 0 olacağını unutmayınız.

Alternatif Yöntem

Süreci bir Markov Zinciri olarak düşünürsek, her adımda beklenen değer bir önceki adımın beklenen değerine (p-q) eklenmesiyle bulunur: E[X_n] = E[X_{n-1}] + (p-q). Başlangıç 0 olduğu için E[X_{10}] = 10(0,6 - 0,4) olur.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

Bu konudan daha fazla soru