Bir kamu araştırma hastanesine gelen ardışık iki acil servis vakası arasındaki sürenin, pa… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırma hastanesine gelen ardışık iki acil servis vakası arasındaki sürenin, parametresi $\theta$ olan Üstel dağılıma uygun olduğu saptanmıştır. Bu sürelere ilişkin $X_1$ ve $X_2$ gibi iki bağımsız gözlem sonucunda $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki yansız tahmin ediciler önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2}{2}

T_2 = \frac{X_1 + 3X_2}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) kaçtır?

1,25Cevap
B
0,80
C
0,625
D
1,56
E
1,00

Cevap

İki yansız tahmin edici arasındaki göreli etkinlik, varyanslarının ters oranlanmasıyla hesaplanır ve bu senaryo için sonuç 1,25'tir.

Doğru yanıt olan 1,25 değeri,

T_2

tahmin edicisinin varyansı (

0,625\theta^2

) ile

T_1

tahmin edicisinin varyansının (

0,5\theta^2

) oranlanmasıyla elde edilir (

0,625 / 0,5 = 1,25

). Bu durum, örneklem ortalamasının bu ağırlıklı ortalamaya göre daha etkin olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Dağılımın istatistiksel özelliklerini belirleme

X \sim Exp(\theta) \Rightarrow E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

Varyans hesaplamaları için temel kitle parametreleri gereklidir.

T_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Var(T_1) = Var(\frac{X_1 + X_2}{2}) = \frac{1}{4}(Var(X_1) + Var(X_2)) = \frac{2\theta^2}{4} = 0,5\theta^2

Örneklem ortalamasının varyansı

\frac{\sigma^2}{n}

formülüyle bulunur.

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Var(T_2) = Var(\frac{X_1 + 3X_2}{4}) = \frac{1}{16}(Var(X_1) + 9Var(X_2)) = \frac{10\theta^2}{16} = 0,625\theta^2

Ağırlıklı ortalamanın varyansı, katsayıların kareleri toplamıyla kitle varyansının çarpımıdır.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini hesaplama

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{0,625\theta^2}{0,5\theta^2} = 1,25

Göreli etkinlik, karşılaştırılan tahmin edicinin varyansının, hedef tahmin edicinin varyansına bölünmesiyle elde edilir.

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ile mutlak etkinliği teyit etme

I(\theta) = \frac{1}{\theta^2} \Rightarrow CRLB = \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{\theta^2}{2} = 0,5\theta^2

Bu sonuç

T_1

'in mutlak etkinliğinin

1

(veya

\%100

) olduğunu ve en iyi yansız tahmin edici (UMVUE) olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

İki yansız tahmin edici karşılaştırılırken, varyansı daha küçük olan tahmin edici daha etkindir. Göreli etkinlik

RE(T_1, T_2) > 1

ise

T_1

daha etkindir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru