Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir endüstriyel üretim hattında üretilen elektronik sensörlerin arıza süreleri XX, aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılım ile modellenmektedir:

f(x;θ)={eθ−x,x>θ0,dig˘erf(x;\theta) = \begin{cases} e^{\theta - x}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olup sensörün garanti edilen minimum çalışma süresini göstermektedir. Rassal olarak seçilen nn adet sensörün arıza süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere, θ\theta parametresini tahmin etmek için T=min⁡(X1,X2,…,Xn)T = \min(X_1, X_2, \dots, X_n) istatistiği (birinci sıra istatistiği) öneriliyor.

Buna göre, TT tahmin edicisinin θ\theta için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1n2\frac{1}{n^2}
  2. B
    n+1n2\frac{n+1}{n^2}
  3. 2n2\frac{2}{n^2}Cevap
  4. D
    n2+1n2\frac{n^2+1}{n^2}
  5. E
    1n\frac{1}{n}

Cevap

2n2\frac{2}{n^2} ifadesini veren seçenek doğru cevaptır.
Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (MSE=Var(T)+Bias2MSE = Var(T) + Bias^2). T=min⁡(X1,…,Xn)T = \min(X_1, \dots, X_n) istatistiği için kaydırılmış üstel dağılımın özellikleri kullanıldığında varyans 1/n21/n^2 ve yan miktarı 1/n1/n olarak bulunur. Bunların formülde yerine konulup toplanmasıyla (1/n2)+(1/n)2=2/n2(1/n^2) + (1/n)^2 = 2/n^2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
TT tahmin edicisinin (1. sıra istatistiği) dağılımını belirleme
P(X>x)=eθ−xP(X > x) = e^{\theta - x} olduğundan, P(T>t)=[P(X>t)]n=en(θ−t)P(T > t) = [P(X > t)]^n = e^{n(\theta - t)} elde edilir. Buradan TT'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu fT(t)=nen(θ−t)f_T(t) = n e^{n(\theta - t)} (t>θt > \theta) olarak bulunur.
TT tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplayabilmek için kendi dağılımının bilinmesi gerekir.
2
TT tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplama
Bu dağılım, kaydırma parametresi θ\theta ve ölçek parametresi 1/n1/n olan üstel bir dağılımdır. Dolayısıyla E[T]=θ+1nE[T] = \theta + \frac{1}{n} bulunur. Buradan Bias(T)=E[T]−θ=1nBias(T) = E[T] - \theta = \frac{1}{n} elde edilir.
MSE formülündeki yan (bias) bileşenini bulmak için.
3
TT tahmin edicisinin varyansını hesaplama
Üstel dağılımın özelliği gereği varyans, (1/n)2=1n2(1/n)^2 = \frac{1}{n^2} olarak bulunur.
MSE formülündeki varyans bileşenini bulmak için.
4
Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplama
MSE(T)=Var(T)+[Bias(T)]2=1n2+(1n)2=2n2MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 = \frac{1}{n^2} + \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{2}{n^2} olarak hesaplanır.
Tüm hesaplanan bileşenleri temel MSE formülünde yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru