Examkin

Soru

Zorluk: ZorAsimptotik Yansızlık

Bir epidemiyolojik çalışmada, belirli bir hastalığın görülme oranını (pp) tahmin etmek amacıyla nn çaplı bağımsız bir rastgele örneklem alınmıştır. Örneklemde hastalığı taşıyan bireylerin sayısı XX ile ifade edilmektedir. Araştırmacılar, popülasyon varyansını veren p(1−p)p(1-p) parametresini tahmin etmek için θ^n=Xn(1−Xn)\hat{\theta}_n = \frac{X}{n} \left(1 - \frac{X}{n}\right) tahmin edicisini kullanmışlardır.

Buna göre, θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    θ^n\hat{\theta}_n, p(1−p)p(1-p) parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi olduğundan sonlu örneklemlerde tam yansızdır.
  2. B
    θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisi asimptotik olarak yansızdır ancak sonlu örneklemlerdeki yan miktarı +p(1−p)n+\frac{p(1-p)}{n} olarak hesaplanır.
  3. C
    θ^n\hat{\theta}_n, tutarlı bir tahmin edici olduğu için sonlu örneklem özellikleri dikkate alınmaz; bu nedenle asimptotik yansızlık kavramından söz edilemez.
  4. θ^n\hat{\theta}_n, p(1−p)p(1-p) için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n}'dir.Cevap
  5. E
    θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri p(1−p)+1np(1-p) + \frac{1}{n} olduğundan, tahmin edici ne sonlu örneklemlerde ne de asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

θ^n\hat{\theta}_n, p(1−p)p(1-p) için asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir ve sonlu örneklemlerdeki yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n}'dir.
Tahmin edicinin beklenen değeri E(θ^n)=E(p^)−E(p^2)E(\hat{\theta}_n) = E(\hat{p}) - E(\hat{p}^2) olarak yazılır. Örneklem oranının varyansı p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n} olduğundan E(p^2)=p(1−p)n+p2E(\hat{p}^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 elde edilir. Bu terim yerine konulduğunda E(θ^n)=p(1−p)−p(1−p)nE(\hat{\theta}_n) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} bulunur. Görüldüğü gibi sonlu örneklemlerde yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olup tahmin edici yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty için lim⁡E(θ^n)=p(1−p)\lim E(\hat{\theta}_n) = p(1-p) olduğundan asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin dağılımını belirlemek ve p^=X/n\hat{p} = X/n için beklenen değer ile varyansı yazmak.
X∼Binom(n,p)X \sim Binom(n, p) olup, E(p^)=pE(\hat{p}) = p ve Var(p^)=p(1−p)nVar(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n} bulunur.
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayabilmek için temel istatistiklerin bilinmesi gereklidir.
2
Varyans formülünden yararlanarak E(p^2)E(\hat{p}^2) değerini bulmak.
E(p^2)=Var(p^)+[E(p^)]2=p(1−p)n+p2E(\hat{p}^2) = Var(\hat{p}) + [E(\hat{p})]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 elde edilir.
θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisi içerisinde yer alan p^2\hat{p}^2 teriminin beklenen değerini hesaplamak için.
3
θ^n=p^−p^2\hat{\theta}_n = \hat{p} - \hat{p}^2 tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplayarak yan miktarını (Bias) bulmak.
E(θ^n)=E(p^)−E(p^2)=p−(p(1−p)n+p2)=p(1−p)−p(1−p)nE(\hat{\theta}_n) = E(\hat{p}) - E(\hat{p}^2) = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} hesaplanır. Yan miktarı ise E(θ^n)−p(1−p)=−p(1−p)nE(\hat{\theta}_n) - p(1-p) = -\frac{p(1-p)}{n} olur.
Tahmin edicinin sonlu örneklemlerdeki yansızlık durumunu test etmek için.
4
Örneklem çapı sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) tahmin edicinin limitini hesaplamak.
lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞[p(1−p)−p(1−p)n]=p(1−p)\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \left[ p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} \right] = p(1-p) olarak bulunur.
Asimptotik yansızlık şartının (n→∞n \to \infty için limitin gerçek parametreye eşit olması) sağlanıp sağlanmadığını görmek için.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Beklenen Değer
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru