Examkin

Soru

Zorluk: ZorDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Sürekli bir XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) aşağıdaki gibi verilmiştir:

fX(x)={13,−1<x<20,dig˘erf_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Y=X2Y = X^2 dönüşümü tanımlanıyor.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak elde edilen YY rastgele değişkenine ait olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

*(Not: yy'nin tanımlı olduğu aralıklar dışındaki değerler için fY(y)=0f_Y(y) = 0 olduğu varsayılacaktır.)*

  1. A
    0<y<40 < y < 4 için fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}
  2. B
    0<y<40 < y < 4 için fY(y)=13yf_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}
  3. 0<y<10 < y < 1 için fY(y)=13yf_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}} ; \quad 1≤y<41 \le y < 4 için fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}Cevap
  4. D
    0<y<10 < y < 1 için fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}} ; \quad 1≤y<41 \le y < 4 için fY(y)=13yf_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}
  5. E
    0<y<40 < y < 4 için fY(y)=13f_Y(y) = \frac{1}{3}

Cevap

0<y<10 < y < 1 aralığında 13y\frac{1}{3\sqrt{y}} ve 1≤y<41 \le y < 4 aralığında 16y\frac{1}{6\sqrt{y}} olan parçalı fonksiyondur.
Doğru cevap, Y=X2Y=X^2 fonksiyonunun monoton olmadığı durumu gözeterek parçalı hesaplama yapan fonksiyondur. FY(y)=P(−y≤X≤y)F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) eşitliğinde, yy'nin 11'den küçük veya büyük olmasına göre XX'in alt sınırı değişir. 0<y<10 < y < 1 için sınırlar (−y,y)(-\sqrt{y}, \sqrt{y})'dir ve türevi 1/(3y)1/(3\sqrt{y})'yi verir. 1≤y<41 \le y < 4 için ise XX'in mutlak alt sınırı −1-1 olduğundan, integral (−1,y)(-1, \sqrt{y}) aralığında hesaplanır ve türevi alındığında 1/(6y)1/(6\sqrt{y}) sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
YY rastgele değişkeninin olası değerler aralığını belirleme.
X∈(−1,2)X \in (-1, 2) olduğundan, Y=X2Y = X^2 değişkeni (0,4)(0, 4) aralığında değerler alır.
CDF'nin tanımlı olduğu bölgeleri bulmak için YY'nin sınırlarının bilinmesi gerekir.
2
CDF temel eşitliğini yazma.
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(−y≤X≤y)F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}).
Dönüşüm fonksiyonu monoton olmadığından, olasılık XX'in negatif ve pozitif değerlerini kapsamalıdır.
3
0<y<10 < y < 1 aralığı için CDF ve PDF hesaplama.
Bu aralıkta −y>−1-\sqrt{y} > -1'dir. Dolayısıyla FY(y)=∫−yy13dx=2y3F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{2\sqrt{y}}{3} olur. Türevi alınırsa fY(y)=13yf_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}} bulunur.
Bu bölgede XX, (−y,y)(-\sqrt{y}, \sqrt{y}) aralığında tamamen 1/31/3 yoğunluğuna sahiptir.
4
1≤y<41 \le y < 4 aralığı için CDF ve PDF hesaplama.
Bu aralıkta −y<−1-\sqrt{y} < -1'dir. Alt sınır −1-1 ile kısıtlanır: FY(y)=∫−1y13dx=y+13F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{\sqrt{y} + 1}{3}. Türevi alınırsa fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}} bulunur.
XX'in yoğunluk fonksiyonu −1-1'in altında sıfır olduğu için integralin alt sınırı −1-1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Bire-Bir Olmayan Dönüşümler
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi