Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBağımsızlık

Bir yayınevi tarafından hazırlanan 'Olasılık ve Stokastik Süreçler' adlı akademik ders kitabının taslak inceleme sürecinde, editörler bağımsızlık, ayrıklık ve kovaryans kavramları ile ilgili yazılmış teorik ifadelerin doğruluğunu tartışmaktadır.

Bu taslak incelemesi sırasında karşılaşılan aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    İki olayın birbirinden bağımsız olması, bu olayların aynı anda gerçekleşemeyeceğini yani ayrık (kesişimlerinin boş küme) olduklarını gösterir.
  2. Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu iki olay aynı zamanda bağımsız olamaz.Cevap
  3. C
    İki rastgele değişken arasındaki kovaryans değerinin sıfır bulunması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlar.
  4. D
    Bir örnek uzaydaki herhangi üç olayın ikişerli olarak bağımsız olması, bu olayların karşılıklı (tam) olarak da bağımsız olmasını her zaman garanti eder.
  5. E
    Herhangi bir AA olayının BB olayı gerçekleştiği bilindiğindeki koşullu olasılığı P(A∣B)P(A|B) hesaplanırken, olayların kesişim olasılığı daima AA olayının marjinal olasılığına bölünür.

Cevap

Doğru ifade, olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık iki olayın aynı zamanda bağımsız olamayacağını belirten seçenektir.
Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık ise kesişimlerinin olasılığı sıfırdır (P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0). Eğer bu olaylar bağımsız olsaydı, P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) eşitliği sağlanmalıydı. Olasılıklar sıfırdan büyük olduğu için çarpımları sıfır olamaz (P(A)P(B)>0P(A)P(B) > 0). Bu durum 0=P(A)P(B)0 = P(A)P(B) şeklinde bir çelişkiye yol açar. Dolayısıyla ayrık olaylar bağımsız olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Ayrıklık ve bağımsızlık kavramlarının matematiksel tanımları yazılır.
Ayrık olaylar için P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 geçerlidir. Bağımsız olaylar için ise P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) kuralı sağlanmalıdır.
Teorik ifadelerin doğruluğunu matematiksel kurallarla ispatlamak için tanımların netleştirilmesi gerekir.
2
Olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık iki olayın bağımsızlık durumu test edilir.
Eğer P(A)>0P(A) > 0 ve P(B)>0P(B) > 0 ise, P(A)P(B)>0P(A)P(B) > 0 olur. Oysa olaylar ayrık olduğu için P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0'dır. Bu durumda 0≠P(A)P(B)0 \neq P(A)P(B) eşitsizliği ortaya çıkar, dolayısıyla bağımsız olamazlar.
Doğru olan seçeneğin kavramsal ispatını tamamlamak için çelişkiyi göstermek gereklidir.
3
Diğer ifadelerdeki istatistiksel yanılgılar tespit edilir.
Kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garantilemez, ikişerli bağımsızlık tam bağımsızlık anlamına gelmez ve koşullu olasılıkta payda kısmına koşul olayı yazılmalıdır.
Çeldirici seçeneklerin neden yanlış olduğunu kanıtlayarak eleme yapmak için.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Ayrıklık İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru