Bir finansal risk modelinde X değişkeni günlük getiri oranını temsil etmektedir. Bir anali… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk modelinde $X$ değişkeni günlük getiri oranını temsil etmektedir. Bir analist, bu değişkeni kullanarak $Y = 10 - 2X$ formülüyle yeni bir risk puanı oluşturmuştur. $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olduğuna göre, $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$e^{10t} M_X(-2t)$ Cevap
B
$e^{-2t} M_X(10t)$
C
$e^{10t} M_X(2t)$
D
$10 - 2 M_X(t)$
E
$e^{10} M_X(-2t)$

Cevap

Yeni risk puanının moment çıkaran fonksiyonu

e^{10t} M_X(-2t)

ifadesi ile bulunur.

Doğrusal bir dönüşüm olan

Y = aX + b

için moment çıkaran fonksiyon özelliği

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

şeklindedir. Soruda

Y = -2X + 10

olarak verildiği için

a = -2

b = 10

değerleri yerlerine konulduğunda

e^{10t} M_X(-2t)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) temel tanımını yazın.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

Dönüşümün sonucunu bulmak için beklenti operatörü altındaki tanım kullanılır.

Y

yerine soruda verilen

10 - 2X

ifadesini koyun.

M_Y(t) = E[e^{t(10 - 2X)}]

Tanımlanan yeni değişkenin

X

cinsinden değeri beklenti içine yerleştirilir.

Üstel fonksiyon özelliklerini kullanarak ifadeyi parçalayın.

M_Y(t) = E[e^{10t} \cdot e^{-2tX}]

Üstlerin toplamı, aynı tabanlı sayıların çarpımı olarak yazılabilir.

Sabit terimi beklenti dışına çıkarın ve kalan ifadeyi MGF cinsinden tanımlayın.

M_Y(t) = e^{10t} E[e^{(-2t)X}] = e^{10t} M_X(-2t)

e^{10t}

terimi

X

değişkenine bağlı olmadığı için sabittir ve beklenti dışına alınır; kalan ifade ise

M_X(t)

fonksiyonunun

-2t

noktasındaki değeridir.

Anahtar Kavram

Moment çıkaran fonksiyonlar için doğrusal dönüşüm özelliği:

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular