Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı

Bir araştırmacı, farklı illerin sosyo-ekonomik yapılarını analiz etmek amacıyla aşağıdaki üç değişkeni içeren bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulayacaktır:

DeğişkenBirimOrtalamaVaryans
Ortalama Konut FiyatıBin TL2.500450.000
Okullaşma Oranı%8525
Nüfus YoğunluğuKişi/km²1201.600

Değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve varyanslarının birbirinden oldukça farklı olduğu göz önüne alındığında, analizde kovaryans matrisi (S\mathbf{S}) yerine korelasyon matrisinin (R\mathbf{R}) kullanılmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Korelasyon matrisinin kullanılması, konut fiyatı gibi büyük varyanslı değişkenlerin analiz sonuçlarını haksız yere domine etmesini engeller ve toplam varyans değişken sayısına (3) eşit olur.Cevap
  2. B
    Kovaryans veya korelasyon matrisi kullanımı sadece bir teknik tercih olup, her iki durumda da elde edilecek özdeğerler ve açıklanan toplam varyans oranları birbirine özdeş çıkacaktır.
  3. C
    Korelasyon matrisi kullanıldığında toplam varyans (matrisin izi), orijinal değişkenlerin varyanslarının toplamı olan 451.625 değerine eşit kalmaya devam eder.
  4. D
    Birimler farklı olsa dahi kovaryans matrisinin kullanılması, değişkenler arasındaki ham ilişkileri koruduğu için temel bileşenlerin yorumlanmasında daima daha güvenilir sonuçlar verir.
  5. E
    Korelasyon matrisi üzerinden yapılan analizde, elde edilen ilk temel bileşenin açıklayacağı varyans miktarı, orijinal değişkenlerden varyansı en büyük olan konut fiyatının varyansından (450.000) daha küçük olamaz.

Cevap

Farklı ölçeklerdeki değişkenlerin baskınlığını önlemek için korelasyon matrisi tercih edilmeli ve bu durumda toplam varyans değişken sayısına eşitlenmelidir.
Değişkenler farklı ölçüm birimlerine sahip olduğunda, kovaryans matrisi kullanmak büyük sayısal değerlere sahip değişkenlerin (örneğin konut fiyatı) analiz sonuçlarını yapay olarak domine etmesine neden olur. Korelasyon matrisi kullanıldığında tüm değişkenler standardize edilmiş olur (varyansları 1 yapılır). Bu durumda matrisin köşegen elemanlarının toplamı olan 'iz' (trace), toplam varyansı verir ve bu değer analizdeki değişken sayısına (bu soruda 3) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin birimlerini ve varyanslarını kontrol etme
Bin TL, % ve Kişi/km² gibi birbirinden tamamen farklı ölçüm birimleri ve çok farklı varyans değerleri (450.000'e karşı 25) mevcuttur.
Ölçek farkı, doğrudan kovaryans matrisi kullanımının büyük değerli değişkenleri (konut fiyatı) yapay olarak önemli göstereceğini anlamamızı sağlar.
2
Matris seçiminin teorik sonucunu belirleme
Korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) kullanımı, verilerin her birinin ortalaması 0 ve varyansı 1 olacak şekilde standardize edilmesi demektir.
Bu işlem değişkenlerin analize eşit ağırlıkla girmesini sağlar.
3
Toplam varyansı hesaplama
Tr(R)=1+1+1=3Tr(\mathbf{R}) = 1 + 1 + 1 = 3.
Korelasyon matrisinin köşegen elemanları daima 1'dir, dolayısıyla iz (trace) değeri değişken sayısı olan pp'ye eşittir.

Anahtar Kavram

TBA'da Ölçek Bağımlılığı ve Matris Seçimi
Bu soruyu puanla

Konular

Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı