Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı

Bir büyükşehir belediyesi, 'akıllı şehir' projesi kapsamında kentin farklı noktalarına yerleştirilen sensörlerden elde edilen verileri kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) ile bir kent endeksi oluşturmayı hedeflemektedir. Veri setinde; ortam sıcaklığı (∘C^\circ C), havadaki partikül madde miktarı (PM10PM_{10} - μg/m3\mu g/m^3), çevresel gürültü seviyesi (dBdB) ve caddelerden geçen saatlik araç sayısı (araç/saat) değişkenleri yer almaktadır.

Araştırmacı, değişkenleri standardize etmeden orijinal ölçü birimleriyle bırakarak doğrudan örneklem kovaryans matrisi (S\mathbf{S}) üzerinden Temel Bileşenler Analizi uygulamıştır.

Buna göre, araştırmacının bu metodolojik tercihi sonucunda elde edilecek analiz çıktılarıyla ilgili aşağıdakilerden hangisinin gerçekleşmesi en olasıdır?

  1. A
    Analiz sonucunda elde edilen özdeğerlerin toplamı, modeldeki değişken sayısına eşit olacak şekilde otomatik olarak standartlaşacaktır.
  2. B
    Değişkenler farklı ölçüm birimlerine sahip olduğu için, elde edilecek temel bileşenler birbirine dik (ortogonal) olma özelliğini kaybedecektir.
  3. Varyansı sayısal olarak en büyük olan 'saatlik araç sayısı' değişkeni, birinci temel bileşeni domine edecek ve diğer değişkenlerin analize katkısı yapay olarak azalacaktır.Cevap
  4. D
    Temel bileşen katsayıları ölçü birimlerinden bağımsız bir yapıda olduğundan, matris seçimi birinci temel bileşenin oluşumunu etkilemeyecektir.
  5. E
    Kovaryans ve korelasyon matrislerinin izleri (trace) her durumda birbirine eşit olduğundan, elde edilen bileşenlerin açıklanan varyans oranları değişmeyecektir.

Cevap

Varyansı sayısal olarak en büyük olan değişkenin, birinci temel bileşeni domine etmesi ve diğer değişkenlerin etkisini gölgelemesi.
Temel Bileşenler Analizi (TBA), değişkenlerin varyansını maksimize eden doğrusal kombinasyonlar bulmayı amaçlar. Veriler farklı ölçüm birimlerine sahip olduğunda (örneğin sıcaklık 20-30 civarındayken, trafik yoğunluğu 3000-4000 civarında olduğunda), kovaryans matrisi kullanılması durumunda sayısal değeri büyük olan değişkenlerin varyansı da devasa olacaktır. Birinci temel bileşen, toplam varyansı en çok açıklayan boyut olduğu için, varyansı büyük olan değişkene yönelecek ve onu domine edecektir. Bu yanılgıyı önlemek için verilerin standartlaştırılması (yani korelasyon matrisinin kullanılması) gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Veri setindeki değişkenlerin yapılarını ve ölçü birimlerini incele.
Değişkenlerin (∘C^\circ C, μg/m3\mu g/m^3, dBdB, araç/saat) sayısal aralıkları birbirinden çok farklıdır. Özellikle 'saatlik araç sayısı' binlerle ifade edilirken, sıcaklık gibi değişkenler onlar basamağında değerler alır.
Değişkenlerin ölçek farklılıkları, hesaplanacak varyans büyüklüklerini doğrudan etkiler.
2
Kovaryans matrisinin (S\mathbf{S}) yapısını ve Temel Bileşenler Analizi'nin varyans maksimizasyonu prensibini değerlendir.
TBA, verideki toplam varyansı en çok açıklayan doğrusal kombinasyonları (özvektörleri) bulur. Kovaryans matrisi standartlaştırılmamış ham varyansları içerir.
Kovaryans matrisi kullanıldığında analizin, birimlerin büyüklüğüne karşı hassas olup olmadığı belirlenir.
3
Ölçek farklılıklarının birinci temel bileşen üzerindeki etkisini sentezle.
Sayısal aralığı en geniş olan 'saatlik araç sayısı' değişkeni en büyük varyansa sahip olacaktır. Bu nedenle, ilk temel bileşen varyansı maksimize etmeye çalışırken, neredeyse tamamen bu değişkene ağırlık verecek ve asıl veri yapısı gizlenmiş olacaktır.
TBA'nın ölçek bağımlılığı (scale-dependency) özelliğinin sonucudur.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Ölçek Bağımlılığı (Scale Dependency) ve Matris Seçimi
Bu soruyu puanla

Konular

Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı