Examkin

Soru

Zorluk: KolayÇok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

\mathbf{X} \sim N_p(oldsymbol{\mu}, oldsymbol{\Sigma}) ortak çok değişkenli normal dağılımına sahip bir rasgele vektör, \mathbf{X} = egin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} şeklinde iki alt vektöre parçalanmıştır. Bu parçalanış altında, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin istatistiksel olarak bağımsız olması için varyans-kovaryans matrisi oldsymbol{\Sigma} üzerinde sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

  1. oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} olmasıCevap
  2. B
    oldsymbol{\Sigma}_{11} ve oldsymbol{\Sigma}_{22} matrislerinin birim matris olması
  3. C
    Sadece X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin marjinal olarak normal dağılıma sahip olması
  4. D
    \text{det}(oldsymbol{\Sigma}_{11} + oldsymbol{\Sigma}_{22}) = 1 olması
  5. E
    X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin boyutlarının birbirine eşit olması

Cevap

X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin bağımsızlığı için oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} koşulu sağlanmalıdır.
Çok değişkenli normal dağılım (MVNMVN) sergileyen rasgele vektörler için sıfır korelasyon (veya sıfır kovaryans), istatistiksel bağımsızlık ile eşdeğerdir. Parçalanmış bir varyans-kovaryans matrisinde oldsymbol{\Sigma}_{12} bloğu, iki alt vektör arasındaki ilişkileri temsil eder; bu bloğun sıfır matrisi olması, alt vektörlerin bağımsız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Vektör parçalanışını ve kovaryans matrisi yapısını tanımla.
oldsymbol{\Sigma} = egin{bmatrix} oldsymbol{\Sigma}_{11} & oldsymbol{\Sigma}_{12} \ oldsymbol{\Sigma}_{21} & oldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix}
Çok değişkenli analizde blok matris notasyonu alt gruplar arası ilişkiyi görmemizi sağlar.
2
Çok değişkenli normal dağılımın bağımsızlık özelliğini hatırla.
X∼MVN\mathbf{X} \sim MVN ise \text{Cov}(\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2) = oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} olması bağımsızlık için yeterlidir.
Normal dağılımda sıfır kovaryans, istatistiksel bağımsızlığı doğrudan ifade eder.
3
Gerekli matrisel şartı belirle.
oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}
Bu matrisin sıfır olması, X1\mathbf{X}_1 içindeki her bir değişkenin X2\mathbf{X}_2 içindeki her bir değişken ile olan kovaryansının sıfır olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda bağımsızlık ile sıfır kovaryans arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Normal dağılımda bağımsızlık ile korelasyon arasındaki ilişkiyi düşünün.
2
X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 arasındaki ilişkileri hangi matris bloğu temsil eder?
3
Kovaryans matrisinin parçalanmış halindeki oldsymbol{\Sigma}_{12} terimi sıfır olduğunda ne gerçekleşir?

Daha Fazla Pratik

Bağımsızlık sağlandığında koşullu dağılımın ortalama ve varyansının nasıl değiştiğini inceleyin.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru