Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsimptotik Yansızlık

Bir fabrikada üretilen parçaların ağırlıklarının ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir kitle dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. μ\mu parametresini tahmin etmek amacıyla nn birimlik bir rastgele örneklem seçilmiş ve Tn=∑i=1nXin+1T_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n+1} tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin asimptotik yansızlık özelliği ve yan (bias) miktarı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.Cevap
  2. B
    Tahmin edici her nn değeri için yansız bir tahmin edicidir.
  3. C
    Tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansızlık özelliğini sağlamaz.
  4. D
    Tahmin edicinin asimptotik beklenen değeri sıfıra eşittir.
  5. E
    Tahmin edicinin yan miktarı örneklem hacmi (nn) arttıkça artış gösterir.

Cevap

Önerilen tahmin edici sonlu örneklem hacimlerinde yanlı bir tahmin edicidir ancak örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değeri parametreye yakınsadığı için asimptotik yansızdır.
Doğru seçenek, tahmin edicinin her sonlu nn değeri için beklenen değerinin μ\mu'den farklı olduğunu (yanlı) ancak nn sonsuza giderken bu beklenen değerin μ\mu'ye eşitlendiğini (asimptotik yansız) ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayınız.
E(Tn)=E[∑Xin+1]=1n+1∑E(Xi)=nμn+1E(T_n) = E\left[ \frac{\sum X_i}{n+1} \right] = \frac{1}{n+1} \sum E(X_i) = \frac{n\mu}{n+1}
Beklenen değerin doğrusallık özelliği ve her bir XiX_i gözleminin beklenen değerinin μ\mu olması nedeniyle bu ifade elde edilir.
2
Tahmin edicinin yan (bias) miktarını belirleyiniz.
Bias(Tn)=E(Tn)−μ=nμn+1−μ=−μn+1Bias(T_n) = E(T_n) - \mu = \frac{n\mu}{n+1} - \mu = -\frac{\mu}{n+1}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır. Sonuç sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.
3
Asimptotik yansızlık için beklenen değerin limitini hesaplayınız.
lim⁡n→∞E(Tn)=lim⁡n→∞nμn+1=μlim⁡n→∞nn+1=μ⋅1=μ\lim_{n \rightarrow \infty} E(T_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n\mu}{n+1} = \mu \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = \mu \cdot 1 = \mu
Örneklem hacmi sonsuza giderken beklenen değer μ\mu parametresine eşitlendiği için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik yansızlık, bir tahmin edicinin beklenen değerinin limit durumunda (n sonsuza giderken) hedef parametreye eşit olması durumudur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru