Bir madencilik işletmesinde çıkarılan cevherlerdeki belirli bir mineralin yoğunluğu X rass… — KPSS İstatistik

Bir madencilik işletmesinde çıkarılan cevherlerdeki belirli bir mineralin yoğunluğu $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. Bu dağılımdan çekilen $n$ birimlik rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresini tahmin etmek için $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}$ Cevap
B
$\frac{3\theta^2}{20n}$
C
$\frac{(10n+3)\theta^2}{40n}$
D
$\frac{(5n+3)\theta^2}{80n}$
E
$\frac{(5n+12)\theta^2}{80n}$

Cevap

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

ifadesidir. Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Doğru seçenek, hata kareler ortalamasının (MSE) varyans ve yan miktarının karesinin toplamı (

MSE = Var(T) + [Bias(T)]^2

) kuralına uygun olarak eksiksiz hesaplandığı ifadedir.

Var(T) = \frac{3\theta^2}{20n}

Bias(T)^2 = \frac{\theta^2}{4}

değerleri payda eşitlenerek toplandığında

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) ve varyansını (

Var(X)

) hesapla.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3}{\theta^3} [\frac{x^4}{4}]_{0}^{\theta} = \frac{3\theta}{4}

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3\theta^2}{5}

Var(X) = \frac{3\theta^2}{5} - (\frac{3\theta}{4})^2 = \frac{3\theta^2}{80}

Örneklem ortalamasına dayalı bir istatistiğin özelliklerini bulmak için kitle momentlerine ihtiyaç vardır.

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesapla.

E[T] = 2 E[\bar{X}] = 2(\frac{3\theta}{4}) = \frac{3\theta}{2}

. Yan miktarı:

Bias(T) = E[T] - \theta = \frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

MSE formülünde kullanılacak olan tahmin edicinin yanlılık durumunu belirlemek gereklidir.

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var(2\bar{X}) = 4 Var(\bar{X}) = 4 (\frac{Var(X)}{n}) = 4 (\frac{3\theta^2}{80n}) = \frac{3\theta^2}{20n}

MSE formülünün ikinci bileşeni olan varyans değerini bulmak gerekir.

MSE(T) = Var(T) + Bias(T)^2

formülünü uygula.

MSE(T) = \frac{3\theta^2}{20n} + (\frac{\theta}{2})^2 = \frac{3\theta^2}{20n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{3\theta^2 + 5n\theta^2}{20n} = \frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

Yanlı bir tahmin edicinin performansını değerlendirmek için toplam hata (MSE) formülünün kullanılması kuraldır.

Anahtar Kavram

Yanlı Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru