Examkin

Soru

Zorluk: KolayDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

XX sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) aşağıda verilmiştir:

f(x)={32x2,−1<x<10,dig˘er durumlarf(x) = \begin{cases} \frac{3}{2}x^2, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Y=∣X∣Y = |X| olarak tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu FY(y)F_Y(y), 0<y<10 < y < 1 aralığında aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    yy
  2. B
    y2y^2
  3. y3y^3Cevap
  4. D
    y32\frac{y^3}{2}
  5. E
    y\sqrt{y}

Cevap

Birikimli dağılım fonksiyonu y3y^3 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan fonksiyon, Y=∣X∣Y = |X| dönüşümü gereği P(−y≤X≤y)P(-y \le X \le y) olasılığının hesaplanmasıyla elde edilir. Verilen PDF'in (−y,y)(-y, y) aralığındaki integrali alındığında 12x3\frac{1}{2}x^3 ilkel fonksiyonu üzerinden y3y^3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Y=∣X∣Y = |X| değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu tanımını XX cinsinden yazın.
FY(y)=P(Y≤y)=P(∣X∣≤y)F_Y(y) = P(Y \le y) = P(|X| \le y)
Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) her zaman rastgele değişkenin bir değerden küçük veya eşit olma olasılığını temsil eder.
2
Mutlak değer eşitsizliğini XX değişkeninin tanım aralığına uygun şekilde açın.
P(−y≤X≤y)P(-y \le X \le y)
∣X∣≤y|X| \le y ifadesi, XX değerinin −y-y ile yy arasında olması gerektiğini gösterir.
3
XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu ilgili aralıkta entegre edin.
FY(y)=∫−yy32x2dx=[12x3]−yyF_Y(y) = \int_{-y}^{y} \frac{3}{2}x^2 dx = [\frac{1}{2}x^3]_{-y}^{y}
Sürekli bir değişkenin belirli bir aralıktaki olasılığı, PDF'in o aralıktaki integraline eşittir.
4
Belirli integral sınırlarını yerine koyarak sonucu hesaplayın.
12(y)3−12(−y)3=12y3−(−12y3)=y3\frac{1}{2}(y)^3 - \frac{1}{2}(-y)^3 = \frac{1}{2}y^3 - (-\frac{1}{2}y^3) = y^3
İntegral sınırları yerine konulurken çift fonksiyon simetrisinden veya doğrudan hesaplamadan yararlanılır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi