Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Yönlü ANOVA Modeli ve Temel Kavramlar

İki yönlü sabit etkili bir varyans analizi (ANOVA) tasarımında, aa düzeyli AA faktörü ile bb düzeyli BB faktörünün bağımlı değişken üzerindeki etkileri genel olarak aşağıdaki doğrusal yapısal model ile ifade edilmektedir:

Yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijkY_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}

Burada i=1,2,...,ai = 1, 2, ..., a; j=1,2,...,bj = 1, 2, ..., b ve k=1,2,...,nk = 1, 2, ..., n olarak tanımlanmıştır.

Bu modelin teorik altyapısı, etkileşim teriminin (αβ)ij(\alpha\beta)_{ij} tanımlanışı ve aşırı parametrelendirilmiş (overparameterized) model parametrelerine uygulanan matematiksel kısıtlar (constraints) dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Etkileşim terimi, herhangi bir hücre ortalamasının faktörlerin toplanabilir (bağımsız) marjinal etkileri kullanılarak tahmin edilen değerinden ne kadar saptığını ölçer ve modelin tekil (identifiable) bir çözüme sahip olması için ∑i=1a(αβ)ij=0\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = 0 ile ∑j=1b(αβ)ij=0\sum_{j=1}^b (\alpha\beta)_{ij} = 0 kısıtlarına tabidir.Cevap
  2. B
    Sabit etkili bu modelde etkileşim terimi (αβ)ij(\alpha\beta)_{ij}, yığından rastgele seçilen faktör kombinasyonlarının varyansını temsil eder ve beklenen değeri sıfır olan, bağımsız normal dağılımlı bir şansa bağlı değişken olarak kısıtlanır.
  3. C
    Modelde etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı çıkması, uygulanan toplanabilirlik kısıtları sayesinde AA ve BB faktörlerinin ana etkilerinin (main effects) düzeyler arası farklılıklarını doğrudan ve koşulsuz olarak yorumlayabilmemizi sağlar.
  4. D
    Etkileşim terimi (αβ)ij(\alpha\beta)_{ij}, AA ve BB faktörlerinin bağımlı değişken üzerinde yarattıkları bireysel ana etkilerin matematiksel toplamını ifade eder ve her deneme biriminde bu toplamın varyansının sabit kaldığı varsayılır.
  5. E
    Yapısal modeldeki kısıtlar, deneyde kullanılan faktörlerin birbirine olan bağımlılığını düzeyler üzerinden modellediği için, etkileşim terimi ancak faktör düzey sayısının genel ortalamadan büyük olduğu dengesiz tasarımlarda sıfırdan farklı bir değer alabilir.

Cevap

Doğru yanıt, etkileşim teriminin toplanabilirlikten sapmayı ölçtüğünü ve modelin çözülebilir olması için satır ve sütun toplamlarının sıfır olması kısıtlarına tabi olduğunu belirten ifadedir.
İki yönlü sabit etkili ANOVA modelinde parametrelerin en küçük kareler tahmin edicilerinin tek bir çözüme sahip olabilmesi (estimability) için kısıtlara ihtiyaç vardır. (αβ)ij(\alpha\beta)_{ij} etkileşim terimi, gözlemlenen bir hücre ortalamasının (μij)(\mu_{ij}), sadece genel ortalama ve ana etkiler kullanılarak oluşturulan bağımsız (toplanabilir) teorik ortalamasından ne kadar farklılaştığını gösterir. Doğru kısıtlar, her bir satır ve her bir sütun için etkileşim terimlerinin toplamının sıfır olmasıdır (∑i=1a(αβ)ij=0\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = 0 ve ∑j=1b(αβ)ij=0\sum_{j=1}^b (\alpha\beta)_{ij} = 0).

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal yapısal modeldeki terimlerin anlamlarını tanımla.
Modeldeki μ\mu genel ortalamayı, αi\alpha_i AA faktörünün ana etkisini, βj\beta_j BB faktörünün ana etkisini ve (αβ)ij(\alpha\beta)_{ij} ise etkileşim etkisini ifade eder.
Her bir parametrenin rolünü bilmek, modelin davranışını ve kısıtlarını anlamanın temelidir.
2
Aşırı parametrelendirme (overparameterization) sorununu belirle.
Hücre sayısı a×ba \times b kadardır ancak tahmin edilmesi gereken parametre sayısı 1(μ)+a(α)+b(β)+ab(αβ)1 (\mu) + a (\alpha) + b (\beta) + ab (\alpha\beta)'dir. Denklem sistemi tekil (identifiable) değildir.
Bu fazla parametre sorunu, model parametreleri üzerine uygun matematiksel kısıtlar (constraints) konulmasını zorunlu kılar.
3
Sabit etkili model kısıtlarını uygula.
Ana etkiler için ∑αi=0\sum \alpha_i = 0 ve ∑βj=0\sum \beta_j = 0 kısıtları konurken; etkileşim terimi için her bir faktör üzerinden toplamların sıfır olması, yani her jj için ∑i(αβ)ij=0\sum_i (\alpha\beta)_{ij} = 0 ve her ii için ∑j(αβ)ij=0\sum_j (\alpha\beta)_{ij} = 0 olması zorunludur.
Bu kısıtlar, etkileşim etkisinin tam olarak ana etkilerin toplamından arta kalan 'toplanabilirlikten sapma' miktarını temsil etmesini sağlar ve modeli matematiksel olarak çözülebilir hale getirir.

Anahtar Kavram

Sabit Etkili İki Yönlü ANOVA Modelinin Parametrik Kısıtları ve Etkileşimin Tanımı
Bu soruyu puanla

Konular

İki Yönlü ANOVA Modeli ve Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru