Examkin

Soru

Zorluk: KolaySürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir belediyeye ait su arıtma tesisindeki ana su pompasının çalışma durumu, S={0,1}S = \{0, 1\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Burada 00 durumu pompanın 'aktif' olduğunu, 11 durumu ise 'arızalı' olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi QQ aşağıda verilmiştir:

Q=(−223−3)Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu su pompasının uzun dönemde (kararlı halde) aktif olma olasılığı kaçtır?

  1. 3/53/5Cevap
  2. B
    2/52/5
  3. C
    2/32/3
  4. D
    1/31/3
  5. E
    1/21/2

Cevap

Su pompasının uzun dönemde aktif olma olasılığı 3/53/5 olarak bulunur.
Verilen sonsuz küçük üreteç matrisi QQ üzerinden kurulan −2π0+3π1=0-2\pi_0 + 3\pi_1 = 0 denge denklemi ve π0+π1=1\pi_0 + \pi_1 = 1 normalizasyon koşulu birlikte çözüldüğünde, aktif durumu temsil eden 00 durumuna ait kararlı hal olasılığı 3/53/5 olarak hesaplanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı hal olasılıkları için πQ=0\pi Q = 0 matris denklemini yazınız.
[−2π0+3π1=0][-2\pi_0 + 3\pi_1 = 0] ve [2π0−3π1=0][2\pi_0 - 3\pi_1 = 0] denklemleri elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı hal dağılımı, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfır vektörüne eşit olmasıyla bulunur.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi kurunuz.
2π0=3π1⇒π1=23π02\pi_0 = 3\pi_1 \Rightarrow \pi_1 = \frac{2}{3}\pi_0
Değişkenlerden birini diğeri cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.
3
Olasılıkların toplamının 1 olması gerektiği kuralını uygulayınız.
π0+π1=1⇒π0+23π0=1⇒53π0=1\pi_0 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \pi_0 + \frac{2}{3}\pi_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}\pi_0 = 1
Tüm durum olasılıklarının toplamı her zaman 1'e eşit olmalıdır (normalizasyon koşulu).
4
π0\pi_0 değerini yalnız bırakarak sonucu bulunuz.
π0=3/5\pi_0 = 3/5
Soruda istenen 'aktif' durumu (0 durumu) olasılığı bu değerdir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Hal (Stationary Distribution) Analizi

Daha Fazla Pratik

3 durumlu (0, 1, 2) bir doğum-ölüm süreci için üreteç matrisi oluşturup kararlı hal olasılıklarını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru