Bir araştırmacı, laboratuvar ortamında gerçekleştirdiği bağımsız bir deneyde belirli bir k… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, laboratuvar ortamında gerçekleştirdiği bağımsız bir deneyde belirli bir kimyasal reaksiyonun gözlenme durumunu modelliyor. Reaksiyonun gerçekleşmesi durumunda $X=1$ , gerçekleşmemesi durumunda ise $X=0$ değeri atanmaktadır. Reaksiyonun gerçekleşme olasılığının $p$ ( $0 < p < 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu araştırmacının modellediği $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ), varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

$p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + pe^t$ Cevap
B
$p \quad , \quad p^2 \quad , \quad p + (1-p)e^t$
C
$p \quad , \quad \sqrt{p} \quad , \quad (1-p) + pe^t$
D
$p \quad , \quad p(1+p) \quad , \quad (1-p) + pe^t$
E
$1-p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad pe^t$

Cevap

Doğru seçenek; beklenen değerin

p

, varyansın

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonun

(1-p) + pe^t

olarak verildiği seçenektir.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin sadece iki çıktısı vardır (0 ve 1). Beklenen değer başarı olasılığına (

p

), varyans başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına (

p(1-p)

) ve moment çıkaran fonksiyonu ise tanım kümesi üzerinden alınan toplama (

E[e^{tX}] = (1-p) + pe^t

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

X

rastgele değişkeninin olasılık dağılımını belirlemek.

X

, sadece 0 ve 1 değerlerini alabildiğinden ve tek bir denemeyi temsil ettiğinden başarı olasılığı

p

olan bir Bernoulli dağılımına sahiptir.

Sadece iki olası sonucu olan (başarı/başarısızlık) tekil denemeler Bernoulli dağılımı ile modellenir.

Beklenen değeri (

E[X]

) hesaplamak.

E[X] = \sum x \cdot P(X=x) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

elde edilir.

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenen değer, her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamına eşittir.

Varyansı (

Var(X)

) hesaplamak.

Önce

E[X^2]

hesaplanır:

E[X^2] = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p = p

bulunur. Ardından varyans formülüne konur:

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

Varyans,

E[X^2] - (E[X])^2

formülü kullanılarak elde edilir.

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) türetmek.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak bulunur.

Moment çıkaran fonksiyon tanım gereği

E[e^{tX}]

beklenen değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru