Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir çağrı merkezindeki telefon santrali, kapasitesi en fazla 2 çağrı olacak şekilde tasarlanmıştır. Bu sisteme gelen çağrılar ve tamamlanan görüşmeler, durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olarak modellenmektedir.

Sistemde nn adet çağrı varken;
- Yeni bir çağrının gelme (doğum) oranları: λ0=3\lambda_0 = 3 çağrı/saat, λ1=2\lambda_1 = 2 çağrı/saat ve λ2=0\lambda_2 = 0
- Mevcut bir çağrının tamamlanma (ölüm) oranları: μ1=1\mu_1 = 1 çağrı/saat ve μ2=1\mu_2 = 1 çağrı/saat
olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığı kaçtır?

  1. A
    110\frac{1}{10}
  2. B
    19\frac{1}{9}
  3. C
    310\frac{3}{10}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. 35\frac{3}{5}Cevap

Cevap

Sistemin tam kapasite dolu olma olasılığı 35\frac{3}{5}'tir.
Kararlı durum analizi için yerel denge (local balance) denklemleri olan λnπn=μn+1πn+1\lambda_n\pi_n = \mu_{n+1}\pi_{n+1} kullanılır. Oranlar yerine konulduğunda π1=3π0\pi_1 = 3\pi_0 ve π2=6π0\pi_2 = 6\pi_0 elde edilir. Olasılıkların toplamı (π0+π1+π2=10π0\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 10\pi_0) 1'e eşitlenerek π0=110\pi_0 = \frac{1}{10} bulunur. Sistemde iki müşterinin bulunması tam kapasiteyi gösterir; bu nedenle istenen π2=6×110=35\pi_2 = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{5} doğru değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini kurun.
λ0π0=μ1π1\lambda_0\pi_0 = \mu_1\pi_1 ve λ1π1=μ2π2\lambda_1\pi_1 = \mu_2\pi_2 eşitlikleri elde edilir.
Kararlı durumda iki komşu durum arasındaki akış hızları birbirine eşit (Rate In = Rate Out) olmalıdır.
2
Verilen oranları denklemlere yerleştirerek tüm olasılıkları π0\pi_0 cinsinden yazın.
3π0=1π1  ⟹  π1=3π03\pi_0 = 1\pi_1 \implies \pi_1 = 3\pi_0 ve 2π1=1π2  ⟹  π2=2π1=2(3π0)=6π02\pi_1 = 1\pi_2 \implies \pi_2 = 2\pi_1 = 2(3\pi_0) = 6\pi_0 bulunur.
Bilinmeyen sayısını teke düşürerek toplam olasılık üzerinden çözüme gitmek için ardışık yerine koyma işlemi yapılır.
3
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını kullanarak π0\pi_0'ı hesaplayın.
π0+π1+π2=1  ⟹  π0+3π0+6π0=1  ⟹  10π0=1  ⟹  π0=110\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + 3\pi_0 + 6\pi_0 = 1 \implies 10\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{10} elde edilir.
Bir olasılık dağılımında örneklem uzayındaki tüm olası durumların olasılıkları toplamı daima 1'dir.
4
Soruda istenen tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığını (π2\pi_2) hesaplayın.
π2=6π0=6×110=610=35\pi_2 = 6\pi_0 = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} olarak bulunur.
Sistemin maksimum kapasitesi 2 olduğu için istenen hedef durum π2\pi_2'dir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru