Bir ülkenin makroekonomik risk modellemesini yapan bir istatistik uzmanı, piyasada oluşabi… — KPSS İstatistik

Bir ülkenin makroekonomik risk modellemesini yapan bir istatistik uzmanı, piyasada oluşabilecek $A$ , $B$ ve $C$ kriz olayları ile bu olayların gerçekleşme durumlarını gösteren (1: gerçekleşti, 0: gerçekleşmedi) sırasıyla $I_A$ , $I_B$ ve $I_C$ gösterge (indicator) rastgele değişkenlerini tanımlamıştır.

Uzman, kurduğu modelin teorik yapısı gereği aşağıdaki matematiksel eşitliklerin ve koşulların sağlandığını raporlamıştır:
I. $Cov(I_A, I_B) = 0$
II. $A$ ve $C$ olayları birbirini dışlayan (ayrık) olaylardır ve her ikisinin de marjinal olasılığı sıfırdan büyüktür ( $P(A) > 0$ ve $P(C) > 0$ ).
III. Üç kriz olayının birlikte gerçekleşme olasılığı için $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$ eşitliği geçerlidir.

Buna göre, risk modeli hakkında yapılan aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

$B$ kriz olayının gerçekleşme olasılığı sıfırdır.Cevap
B
$A$ ve $C$ olayları birbirini dışlayan olaylar olduğu için, bu iki olay aynı zamanda istatistiksel olarak bağımsızdır.
C
$A$ , $B$ ve $C$ olayları karşılıklı (tam) bağımsızdır, çünkü üçlü kesişimlerinin olasılığı marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.
D
$I_A$ ve $I_B$ değişkenlerinin kovaryansının sıfır olması, sadece doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir; $A$ ve $B$ olaylarının bağımsız olduğunu kanıtlamaz.
E
$A$ olayı verildiğinde $C$ olayının koşullu olasılığı, $P(A \cap C)$ değerinin $P(C)$ değerine bölünmesiyle elde edilir.

Cevap

B kriz olayının gerçekleşme olasılığı sıfırdır.

Doğru yanıt, B olayının olasılığının sıfır olduğunu belirten ifadedir. Soruda A ve C olaylarının birbirini dışladığı (ayrık olduğu) belirtilmiştir. Ayrık olayların kesişimi boş kümedir (A ∩ C = ∅), bu nedenle üç olayın kesişimi de (A ∩ B ∩ C) zorunlu olarak boş kümedir ve gerçekleşme olasılığı 0'dır. Sorudaki üçüncü eşitlikte yerine konduğunda 0 = P(A) × P(B) × P(C) denklemi elde edilir. P(A) ve P(C)'nin sıfırdan büyük olduğu soruda açıkça ifade edildiğinden, denklemi sıfır yapabilecek tek bileşen P(B)'dir. Bu sebeple B olayının gerçekleşme olasılığı kesinlikle sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

Kovaryans bilgisini yorumla

Cov(I_A, I_B) = E[I_A I_B] - E[I_A]E[I_B] = P(A \cap B) - P(A)P(B) = 0

olduğu görülür.

Gösterge değişkenlerinin beklenen değeri ilgili olayın olasılığına eşittir. Bu sonuç, A ve B olaylarının bağımsız olduğunu gösterir.

Ayrıklık koşulunu üçlü kesişime uyarla

A \cap C = \emptyset

olduğundan,

A \cap B \cap C

kümesi de boş küme olmak zorundadır. Dolayısıyla

P(A \cap B \cap C) = 0

bulunur.

Birbirini dışlayan olaylar aynı anda gerçekleşemez, bu yüzden bu olayları içeren herhangi bir üçlü kesişim de imkansız olaydır.

Üçüncü eşitliği çöz

III. maddede verilen

P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)

eşitliğinde sol taraf 0 olarak bulunur:

0 = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)

Önceki adımda elde edilen sıfır olasılık değeri temel eşitlikte yerine konur.

Marjinal olasılıkları analiz et

P(A) > 0

P(C) > 0

olarak verildiği için, denklemin sağlanabilmesi adına matematiksel olarak

P(B) = 0

olması zorunludur.

Pozitif iki sayının üçüncü bir sayıyla çarpımı sıfır ise, o üçüncü sayı kesinlikle sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Gösterge (Indicator) Değişkenleri ve Ayrıklık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru