Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir kamu kurumunda işlem gören günlük evrak sayısı, λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uygunluk göstermektedir. Bu kurumda rastgele seçilen nn günlük evrak sayılarını temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre λ\lambda parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_iCevap
  2. B
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i
  3. C
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^{n} X_i^2
  4. D
    max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  5. E
    X1+XnX_1 + X_n

Cevap

Gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i ifadesi λ\lambda parametresi için yeterli istatistiktir.
Poisson dağılımının olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde, λ\lambda parametresini içeren terimlerin yalnızca gözlemlerin toplamı (∑Xi\sum X_i) üzerinden verilere bağlı olduğu görülür. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, bu durum toplam istatistiğinin parametre için yeterli olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (likelihood function) yazın.
L(λ;x1,…,xn)=∏i=1ne−λλxixi!=e−nλλ∑i=1nxi∏i=1nxi!L(\lambda; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_i}}{\prod_{i=1}^{n} x_i!}
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık kütle fonksiyonu oluşturulmalıdır.
2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Factorization Theorem) uygulayın.
L(λ;x)=g(T(x),λ)⋅h(x)L(\lambda; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \lambda) \cdot h(\mathbf{x}) formunda; g(∑xi,λ)=e−nλλ∑xig(\sum x_i, \lambda) = e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i} ve h(x)=1∏xi!h(\mathbf{x}) = \frac{1}{\prod x_i!} olarak belirlenir.
Teorem gereği, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir gg fonksiyonu ve sadece verilere bağlı bir hh fonksiyonu olarak ayrılabilmelidir.
3
Yeterli istatistiği (TT) tanımlayın.
T(X1,…,Xn)=∑i=1nXiT(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} X_i
gg fonksiyonu sadece λ\lambda parametresine ve gözlemlerin toplamına bağlı olduğu için bu toplam yeterli bir istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, bir istatistiğin parametre hakkındaki tüm bilgiyi içerip içermediğini belirlemek için olabilirlik fonksiyonunun iki parçaya ayrılmasını sağlar.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru