İçişleri Bakanlığı, ülke genelindeki tüm ilçe belediyelerinin yıllık toplam altyapı harcam… — KPSS İstatistik

İçişleri Bakanlığı, ülke genelindeki tüm ilçe belediyelerinin yıllık toplam altyapı harcamalarını ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla bir örnekleme çalışması planlamaktadır. Bakanlık veritabanında, tüm belediyelerin kesinleşmiş yıllık vergi gelirleri ( $X$ ) kitle için tam ve eksiksiz olarak kayıtlıdır. Tasarım ekibi, basit rastgele örnekleme ile elde edilecek ortalama veya toplam tahminleyicisi yerine, $X$ 'i yardımcı değişken olarak kullanan bir oran tahminleyicisi ( $\hat{Y}_R$ ) kullanmaya karar vermiştir.

Bu örnekleme tasarımında yardımcı değişken kullanılmasının temel amacı ve oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin sonuç vermesi için sağlanması gereken teorik koşul aşağıdakilerin hangisinde doğru ve eksiksiz olarak ifade edilmiştir?

A
Temel amaç, kitleye ait $Y$ toplamı tam olarak bilindiğinde, örneklemden hesaplanan $X$ yardımcı istatistiğinin varyansını minimize etmektir; bu durum yalnızca $X$ ve $Y$ arasındaki ilişkinin doğrusal olmadığı durumlarda geçerlidir.
B
Temel amaç, örneklemden elde edilen $X$ istatistiğini kullanarak $Y$ 'nin kitle parametresini sıfır örnekleme hatası ile tam olarak hesaplamaktır; bunun için $X$ ile $Y$ arasındaki ilişkinin orijinden geçen kusursuz bir doğru olması şarttır.
Temel amaç, ilgilenilen $Y$ değişkeninin kitle toplamına ait tahmin varyansını düşürerek etkinliği artırmaktır; bunun sağlanabilmesi için $X$ ile $Y$ arasındaki kitle korelasyon katsayısının, $X$ 'in değişim katsayısının $Y$ 'nin değişim katsayısına oranının yarısından büyük olması ( $\rho > \frac{1}{2} \frac{CV(X)}{CV(Y)}$ ) gerekir.Cevap
D
Temel amaç, çok küçük örneklem hacimlerinde bile oran tahminleyicisinin her zaman yansız (unbiased) olmasını garanti etmektir; değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı herhangi bir pozitif korelasyon ( $\rho > 0$ ) bulunması bu yansızlık için yeterli tek koşuldur.
E
Temel amaç, hesaplama kolaylığı sağlamak üzere regresyon katsayısı yerine oran kullanmaktır; çünkü oran tahminleyicisi, değişkenler arasındaki korelasyonun yönünden ve büyüklüğünden bağımsız olarak basit rastgele örneklemeden daima daha etkindir.

Cevap

Yardımcı değişken kullanımının amacı tahminin varyansını düşürmektir ve oran tahminleyicisinin etkin olabilmesi için kitle korelasyon katsayısının, değişim katsayıları oranının yarısından büyük (

\rho > \frac{1}{2} \frac{CV(X)}{CV(Y)}

) olması matematiksel bir zorunluluktur.

Doğru ifade, yardımcı değişkenin varlık sebebini 'tahmin varyansını düşürerek etkinliği artırmak' olarak kesin bir dille ortaya koymaktadır. Ayrıca, istatistiksel örnekleme teorisinde bir oran tahminleyicisinin ortalama tahminleyicisinden (Basit Rastgele Örnekleme) daha küçük bir varyans vermesi için kitle korelasyon katsayısının (

\rho

X

'in değişim katsayısı ile

Y

'nin değişim katsayısı oranının yarısından büyük olması gerektiği bilinen temel ve kritik bir eşitsizliktir.

Adım Adım Çözüm

Yardımcı değişken (

X

) ile ilgilenilen değişken (

Y

) arasındaki kavramsal ilişkiyi belirle.

Araştırmada

Y

bilinmeyen ve tahmin edilecek kitle parametresidir.

X

ise kitle düzeyinde değerleri bilinen ve tahminin varyansını (hatasını) düşürmek için kullanılan araçtır.

Yardımcı değişkenlerin örnekleme tasarımlarındaki temel varlık nedeni, değişkenler arası ilişkiden yararlanarak daha kesin (dar güven aralıklı) tahminler üretmektir.

Oran tahminleyicisinin Basit Rastgele Örneklemeye (BRÖ) göre etkin olma koşulunu analiz et.

BRÖ'de kitle toplamı tahmin varyansı

\hat{Y}_{BR\ddot{O}}

iken oran tahminleyicisinin varyansı

\hat{Y}_R

'dir.

Var(\hat{Y}_R) < Var(\hat{Y}_{BR\ddot{O}})

eşitsizliği çözüldüğünde

\rho > \frac{1}{2} \frac{CV(X)}{CV(Y)}

koşulu elde edilir.

Sadece iki değişken arasında pozitif bir ilişki olması oran tahminleyicisini daha iyi yapmaz; bu ilişkinin gücünün (korelasyonun), her iki değişkenin nispi değişkenliklerine (değişim katsayılarına) kıyasla yeterince yüksek olması gerekir.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Yardımcı Değişken Teorisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru