Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsimptotik Yansızlık

Bir kamu araştırmasında, bir bölgedeki hanelerin belirli bir sosyal hizmetten yararlanma oranı olan pp parametresinin tahmini için Bernoulli dağılımı kullanılmaktadır. Araştırmacılar, bu oranın karesi olan p2p^2 değerini tahmin etmek amacıyla nn birimlik bağımsız ve rastgele bir örneklem üzerinden Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını kullanarak θ^n=Xˉ2\hat{\theta}_n = \bar{X}^2 En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisini (MLE) önermişlerdir.

Buna göre, θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.Cevap
  2. B
    Her nn örneklem hacmi için p2p^2 parametresinin yansız bir tahmin edicisidir.
  3. C
    Tahmin edici hem yanlıdır hem de asimptotik olarak yanlılık özelliği gösterir.
  4. D
    Yansız bir tahmin edicidir fakat büyük örneklemlerde asimptotik olarak yanlı hale gelir.
  5. E
    Beklenen değeri n→∞n \rightarrow \infty durumunda pp değerine yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Önerilen tahmin edici yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.
Doğru seçenek olan ifadeye göre tahmin edici yanlıdır çünkü sonlu bir nn değerinde beklenen değer p2+p(1−p)np^2 + \frac{p(1-p)}{n} olup hedef parametre olan p2p^2 değerinden farklıdır. Ancak nn sonsuza giderken paydadaki nn terimi nedeniyle yan miktarı olan p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n} sıfıra gider ve beklenen değer p2p^2 olur. Bu durum asimptotik yansızlık tanımıyla tam olarak örtüşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini formüle dökün.
E(θ^n)=E(Xˉ2)=Var(Xˉ)+[E(Xˉ)]2E(\hat{\theta}_n) = E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2
Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değeri, varyansı ile beklenen değerinin karesinin toplamına eşittir.
2
Bernoulli dağılımı için gerekli istatistikleri yerine koyun.
E(Xˉ)=pE(\bar{X}) = p ve Var(Xˉ)=p(1−p)nVar(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n} olduğu için E(Xˉ2)=p(1−p)n+p2E(\bar{X}^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 bulunur.
Örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına, varyansı ise kitle varyansının örneklem çapına bölümüne eşittir.
3
Yansızlık ve asimptotik yansızlık şartlarını kontrol edin.
E(θ^n)≠p2E(\hat{\theta}_n) \neq p^2 olduğundan yanlıdır; lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞(p(1−p)n+p2)=p2\lim_{n \rightarrow \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{p(1-p)}{n} + p^2) = p^2 olduğundan asimptotik yansızdır.
nn değeri arttıkça yan miktarı (p(1−p)n \frac{p(1-p)}{n}) sıfıra yaklaşmaktadır.

Anahtar Kavram

Asimptotik yansızlık, bir tahmin edicinin beklenen değerinin örneklem hacmi sonsuza giderken hedef parametreye eşit olması durumudur.
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru