Bir araştırmacı, kitle oranı p olan bir Bernoulli dağılımından n birimlik bağımsız bir ras… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kitle oranı $p$ olan bir Bernoulli dağılımından $n$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem seçmiştir. $p$ parametresi için $T = X_1$ yansız tahmin edicisini ve $S = \sum_{i=1}^{n} X_i$ yeterli istatistiğini belirlemiştir. Rao-Blackwell teoremi gereğince oluşturulan $T^* = E[T|S]$ tahmin edicisinin varyansı ( $Var(T^*)$ ) ile orijinal tahmin edici $T$ 'nin varyansı ( $Var(T)$ ) arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$Var(T^*) \leq Var(T)$ Cevap
B
$Var(T^*) > Var(T)$
C
$Var(T^*) = Var(T) + p(1-p)$
D
$Var(T^*) = n \cdot Var(T)$
E
$T^*$ , bir istatistik olmadığı için varyansı hesaplanamaz

Cevap

İyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı, orijinal tahmin edicinin varyansından küçük veya eşittir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca, eğer

T

bir parametre için yansız ve

S

yeterli bir istatistik ise,

T^* = E[T|S]

tahmin edicisi de yansızdır ve varyansı orijinal

T

tahmin edicisinden daha küçüktür veya ona eşittir (

Var(T^*) \leq Var(T)

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicilerin yansızlık durumunu kontrol etme

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = p

Yinelenen beklenen değerler kuralı gereği, koşullu beklenen değer orijinal tahmin edicinin beklenen değerine eşittir.

Varyans bileşenleri teoremini (Variance Decomposition) uygulama

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

Toplam varyans, koşullu beklenen değerin varyansı ile koşullu varyansın beklenen değerinin toplamıdır.

Varyans karşılaştırmasını yapma

Var(T) = Var(T^*) + E[Var(T|S)] \implies Var(T^*) \leq Var(T)

E[Var(T|S)]

terimi her zaman negatif olmayan bir değer olduğu için

Var(T^*)

değeri

Var(T)

değerinden büyük olamaz.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoremi, bir parametre için yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik kullanılarak varyansının iyileştirilmesini sağlar.

Alternatif Yöntem

Varyans ayrıştırma formülünü (

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

) hatırlayarak,

E[Var(T|S)] \geq 0

olduğu için

Var(T) \geq Var(E[T|S])

sonucuna doğrudan ulaşılabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru