Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir çağrı merkezinde, birinci tip müşteri şikayetinin çözülme süresi $X$ (saat) ve ikinci tip müşteri şikayetinin çözülme süresi $Y$ (saat) sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. İkinci tip şikayetlerin çözümü, her zaman birinci tip şikayetin çözümünden sonra tamamlanabilmektedir ( $Y > X$ ).

Bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)}, & 0 < x < y < \infty \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlık durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü ortak yoğunluk fonksiyonundaki

e^{-(x+y)}

ifadesi matematiksel olarak

e^{-x}

ve

e^{-y}

şeklinde iki ayrı fonksiyonun çarpımı olarak ayrılabilmektedir.

Çözüm süreleri bağımlıdır; çünkü değişkenlerin tanımlı oldukları ortak destek kümesinin (tanım aralığının) sınırları

x < y

koşuluna bağlıdır ve dikdörtgensel bir alan belirtmez.

Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

0 < x < y < \infty

aralığındaki toplam integrali, olasılık aksiyomları gereği

1

'e eşittir.

Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü rastgele değişkenlerin beklenen değerleri hesaplandığında, genel geçer bir kural olan

E[X+Y] = E[X] + E[Y]

eşitliği sağlanmaktadır.

Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü iki rastgele değişkenin sürekli bir dağılıma sahip olması, aralarındaki olası sıfır kovaryansın tam bağımsızlığı garantilemesi için yeterlidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çözüm süreleri bağımlıdır; çünkü değişkenlerin tanımlı oldukları ortak destek kümesinin (tanım aralığının) sınırları $x < y$ koşuluna bağlıdır ve dikdörtgensel bir alan belirtmez.

Cevap

Doğru seçenek, çözüm sürelerinin tanımlı oldukları ortak destek kümesinin

x < y

koşuluna bağlı olması nedeniyle dikdörtgensel bir alan oluşturmadığını ve bu yüzden bağımlı olduklarını belirten seçenektir.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için gerek ve yeter şart, her

(x,y)

noktası için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının çarpımına eşit olmasıdır (

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

). Bu matematiksel eşitliğin tam anlamıyla sağlanabilmesi için, değişkenlerin tanımlı oldukları destek kümelerinin (değer aralıklarının) sınırlarının birbirlerinden bağımsız sabitlerden oluşması, yani iki boyutlu uzayda 'dikdörtgensel' bir alan (Kartezyen çarpım) belirtmesi zorunludur. Soruda verilen fonksiyonda

x < y

kısıtı bulunduğu için

Y

'nin tanım aralığı doğrudan

X

'e bağlıdır. Dolayısıyla destek kümesi dikdörtgensel değildir ve değişkenler bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık şartını tanımlama

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliğinin tüm

x, y

değerleri için sağlanması gerekliliğinin belirlenmesi.

İki sürekli değişkenin bağımsızlığı için ortak yoğunluk fonksiyonunun, marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımına her durumda tam olarak eşit olması şarttır.

2

Destek kümesini (tanım alanını) analiz etme

Fonksiyonun

0 < x < y < \infty

sınırları içinde tanımlı olduğunun, yani

y

'nin alt sınırının

x

'in alacağı değere bağımlı olduğunun tespit edilmesi.

Bağımsız değişkenlerin alabilecekleri değer aralıkları (destek kümeleri) birbirlerinden bağımsız sabitlerden oluşmalıdır.

3

Sınırların bağımlılık etkisini değerlendirme

Destek kümesinin Kartezyen çarpım (dikdörtgensel bölge) olmadığının ve bu nedenle marjinal dağılımların çarpımının orijinal bölgeyi veremeyeceğinin fark edilmesi.

Destek kümesi dikdörtgensel değilse,

f(x,y)

analitik olarak çarpanlara ayrılabilse bile (

e^{-x} \cdot e^{-y}

gibi), destek bölgeleri uyuşmayacağından bağımsızlık koşulu ihlal edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin destek kümesinin dikdörtgensel (Kartezyen çarpım) olma zorunluluğu.

Soru 102Soru →

Bir kamu araştırma merkezinde, belirli bir projeye ayrılan günlük mesai süresinin tam güne oranı $X$ ve diğer idari işlere ayrılan sürenin oranı $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, y > 0, x+y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilmiştir.

Belirli bir günde idari işlere günün $\frac{1}{4}$ 'ünün ( $Y = \frac{1}{4}$ ) ayrıldığı bilindiğine göre, projeye ayrılan sürenin beklenen değeri kaçtır?

\frac{1}{2}

\frac{2}{5}

\frac{27}{32}

\frac{2}{3}

\frac{1}{32}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

\frac{1}{2}

Koşullu beklenen değeri bulmak için önce koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x|1/4)

bulunmalıdır. Bunun için öncelikle

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

x

'e göre integral alınarak (sınırlar

0

ile

1-y

arasında)

f_Y(y) = 12y(1-y)^2

olarak bulunur.

Y=1/4

değeri formülde yerine yazıldığında

f_Y(1/4) = 27/16

elde edilir. Ortak yoğunluk fonksiyonunda

Y=1/4

yazılıp, marjinal olasılık değerine bölündüğünde koşullu fonksiyon

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{32}{9}x

(burada

0 < x < 3/4

) olur. Beklenen değer için bu fonksiyon

x

ile çarpılarak

0

ile

3/4

arasında integre edilir ve sonucun

1/2

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak.

f_Y(y) = \int_{0}^{1-y} 24xy dx = 24y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1-y} = 12y(1-y)^2

Koşullu yoğunluk fonksiyonunu elde edebilmek için

f(x,y)

değerini paydaya yazılacak olan marjinal fonksiyona bölmeliyiz.

x+y<1

olduğundan üst sınır

1-y

alınmıştır.

2

Y = 1/4

koşulundaki marjinal yoğunluk değerini hesaplamak.

f_Y(\frac{1}{4}) = 12(\frac{1}{4})(1 - \frac{1}{4})^2 = 3(\frac{9}{16}) = \frac{27}{16}

Koşul ifadesinde paydada yer alacak kesin sayısal değeri bulmak için

y

yerine

1/4

yazılır.

3

X

'in

Y = 1/4

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_{X|Y}(x|\frac{1}{4})

) bulmak.

f_{X|Y}(x|\frac{1}{4}) = \frac{f(x, 1/4)}{f_Y(1/4)} = \frac{24x(1/4)}{27/16} = \frac{6x}{27/16} = \frac{32}{9}x

X

'in yeni dağılımını ifade eden fonksiyonu elde etmek için Bayes kuralının sürekli değişken formunu uygularız. Aralığımız

x + \frac{1}{4} < 1 \implies 0 < x < \frac{3}{4}

olur.

4

Koşullu beklenen değeri (

E[X|Y=1/4]

) hesaplamak.

E[X|Y=1/4] = \int_{0}^{3/4} x \cdot \frac{32}{9}x dx = \frac{32}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3/4} = \frac{32}{27} \cdot \frac{27}{64} = \frac{1}{2}

Sürekli rastgele değişkenlerde beklenen değer formülü olan

E[X] = \int x \cdot f(x) dx

denklemi, bulunan koşullu fonksiyon ve sınırlarla uygulanır.

Anahtar Kavram

İki sürekli rastgele değişken için koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bularak koşullu beklenen değeri integral ile hesaplama.

Soru 103Soru →

Bir kimya tesisinde üretilen iki farklı bileşiğin ( $X$ ve $Y$ ) günlük üretim miktarları (ton cinsinden) aşağıdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{6}{5}(x^2 + y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir günde $Y$ bileşiğinden $\frac{1}{3}$ ton üretildiği bilindiğine göre, $X$ bileşiğinden $\frac{1}{2}$ tondan daha az üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{15}{44}

\frac{5}{16}

\frac{5}{27}

\frac{7}{20}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{16}$

Cevap

İstenen olasılık

\frac{5}{16}

'dır.

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda

P(X < x_0 \mid Y = y_0)

şeklindeki ifadelerin çözümü iki ana adımdan oluşur. Öncelikle, koşul değişkeni olan

Y

'nin marjinal dağılımı

f_Y(y) = \int f(x,y) dx

formülü ile bulunur ve

y_0

noktasındaki değeri hesaplanır. Ardından,

f_{X|Y}(x|y_0) = \frac{f(x, y_0)}{f_Y(y_0)}

ilişkisi kurularak elde edilen yeni tek değişkenli fonksiyon, istenen aralıkta (

0

'dan

1/2

'ye kadar) entegre edilir. Bütün adımlar doğru uygulandığında sonucun

\frac{5}{16}

olduğu görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

hesaplanır.

f_Y(y) = \int_0^1 \frac{6}{5}(x^2 + y) dx = \frac{6}{5} \left[ \frac{x^3}{3} + xy \right]_0^1 = \frac{6}{5}\left(\frac{1}{3} + y\right) = \frac{2}{5} + \frac{6}{5}y

Sürekli ortak dağılımlarda koşullu dağılımı bulmak için, koşul olarak verilen değişkenin (burada Y) marjinal yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Koşul olan

Y = 1/3

değeri marjinal yoğunluk fonksiyonunda yerine konur.

f_Y(1/3) = \frac{2}{5} + \frac{6}{5}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Koşullu olasılık yoğunluk formülünde

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

paydasını belirlemek gerekmektedir.

3

Y = 1/3

şartı altında

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x | 1/3)

elde edilir.

f_{X|Y}(x | 1/3) = \frac{\frac{6}{5}(x^2 + 1/3)}{4/5} = \frac{6}{4} \left(x^2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}

Olasılığı istenen olayın integrali, yalnızca bu elde edilen koşullu fonksiyon üzerinden alınabilir.

4

Bulunan koşullu fonksiyonun, istenen aralık olan

0 < x < 1/2

üzerinde integrali alınarak nihai olasılık bulunur.

P(X < 1/2 \mid Y = 1/3) = \int_0^{1/2} \left(\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}\right) dx = \left[ \frac{x^3}{2} + \frac{x}{2} \right]_0^{1/2} = \frac{(1/2)^3}{2} + \frac{1/2}{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16}

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığın olasılığı, ilgili yoğunluk fonksiyonunun o aralıktaki integrali alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu ve belirli bir aralık için integrasyon yoluyla koşullu olasılık hesabı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 104Soru →

Bir yazılım firmasının geliştirdiği yeni bir uygulamanın kullanıcı davranışları üzerinde yapılan bir analizde, kullanıcıların uygulamada geçirdikleri toplam sürenin (saat cinsinden) $X$ ve sadece profil düzenleme sayfasında geçirdikleri sürenin $Y$ olduğu belirlenmiştir.

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi modellenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bir kullanıcının profil düzenleme sayfasında $\frac{1}{3}$ saat geçirdiği bilindiğine göre, uygulamada geçirdiği toplam sürenin $\frac{1}{2}$ saatten az olma olasılığı kaçtır?

\frac{9}{32}

\frac{5}{27}

\frac{5}{32}

\frac{5}{36}

\frac{27}{32}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{32}$

Cevap

\frac{5}{32}

Doğru seçenekte, öncelikle

Y

'nin marjinal fonksiyonu doğru sınırlar (

y

'den

1

'e) kullanılarak hesaplanmış ve payda için

f_Y(1/3) = \frac{32}{27}

değeri bulunmuştur. Ardından formül yardımıyla

f_{X|Y}(x|1/3) = \frac{9}{4}x

elde edilmiş, son olarak da destek kümesinin kısıtlamasından doğan alt sınır (

X > Y \Rightarrow x > 1/3

) ile soruda istenen üst sınır (

1/2

) arasında integral alınarak sonuca ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Y = \frac{1}{3}

için

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f_Y(y)

hesaplanması.

f_Y(y) = \int_{y}^{1} 8xy \, dx = 4y \left[ x^2 \right]_{y}^{1} = 4y(1 - y^2) = 4y - 4y^3

Koşullu olasılık dağılımını elde etmek için öncelikle bilinen değişkenin (Y) kendi marjinal dağılımına ihtiyaç vardır.

2

y = \frac{1}{3}

değerinin marjinal fonksiyonda yerine konulması.

f_Y\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right) - 4\left(\frac{1}{27}\right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{27} = \frac{36 - 4}{27} = \frac{32}{27}

Koşullu olasılık formülünün paydasını (normalizasyon sabiti) belirlemek gereklidir.

3

X

'in

Y = \frac{1}{3}

koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_{X|Y}(x|\frac{1}{3})

) bulunması.

f_{X|Y}\left(x|\frac{1}{3}\right) = \frac{f(x, 1/3)}{f_Y(1/3)} = \frac{8x(1/3)}{32/27} = \frac{8x/3}{32/27} = \frac{9}{4}x

(Burada aralık:

\frac{1}{3} < x < 1

)

Olasılığı hesaplanacak olan olayın yeni durumdaki (koşul altındaki) olasılık modelini elde etmek.

4

Tanımlı sınırlar dikkate alınarak

P\left(X < \frac{1}{2} \Big| Y = \frac{1}{3}\right)

olasılığının hesaplanması.

\int_{1/3}^{1/2} \frac{9}{4}x \, dx = \frac{9}{8} \left[ x^2 \right]_{1/3}^{1/2} = \frac{9}{8} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{9}{8} \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5}{32}

İstenilen aralıktaki olasılığı bulmak için koşullu yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu alt sınırdan (y=1/3), istenen üst sınıra (1/2) kadar integrali alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Değişkenler İçin Koşullu Olasılık Dağılımları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 105Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir bölgedeki günlük ortalama rüzgar hızı $X$ ve günlük ortalama nem oranı $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{6}{5}(x^2 + y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, günlük ortalama nem oranının $\frac{1}{4}$ olduğu bilindiğinde, günlük ortalama rüzgar hızının beklenen değeri, yani $E\left[X \left| Y = \frac{1}{4}\right.\right]$ kaçtır?

\frac{9}{20}

\frac{17}{35}

\frac{35}{54}

\frac{3}{5}

\frac{9}{14}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{14}$

Cevap

\frac{9}{14}

Sürekli rastgele değişkenlerde koşullu beklenen değer hesaplanırken öncelikle ilgili koşul için

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{f(x, 1/4)}{f_Y(1/4)}

formülüyle bulunmalıdır.

f_Y(1/4) = 7/10

olarak elde edildikten sonra, koşullu yoğunluk

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{12}{7}(x^2 + 1/4)

şeklini alır. Beklenen değer tanımından yola çıkarak, bu fonksiyon

x

ile çarpılıp tanım aralığı olan

0

ile

1

arasında integre edildiğinde sonuç

\frac{9}{14}

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

y = \frac{1}{4}

için

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu olan

f_Y(1/4)

değerini hesaplayın.

f_Y(1/4) = \int_0^1 f(x, 1/4) dx = \int_0^1 \frac{6}{5}\left(x^2 + \frac{1}{4}\right) dx = \frac{6}{5} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x}{4} \right]_0^1 = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{10}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulabilmek için paydada yer alacak olan marjinal yoğunluk değerine ihtiyaç vardır.

2

Y = \frac{1}{4}

verildiğinde

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x|1/4)

ifadesini elde edin.

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{f(x, 1/4)}{f_Y(1/4)} = \frac{\frac{6}{5}\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)}{\frac{7}{10}} = \frac{12}{7} \left(x^2 + \frac{1}{4}\right)

Koşullu beklenen değeri hesaplamak için bağımlı değişkene ait koşullu olasılık dağılımının yoğunluk kuralı kullanılmalıdır.

3

f_{X|Y}(x|1/4)

fonksiyonunu kullanarak

E\left[X \left| Y = \frac{1}{4}\right.\right]

değerini integral yardımıyla hesaplayın.

E\left[X \left| Y = \frac{1}{4}\right.\right] = \int_0^1 x \cdot \frac{12}{7} \left(x^2 + \frac{1}{4}\right) dx = \frac{12}{7} \int_0^1 \left(x^3 + \frac{x}{4}\right) dx = \frac{12}{7} \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{8} \right]_0^1 = \frac{12}{7} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right) = \frac{12}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{56} = \frac{9}{14}

Sürekli rastgele değişkenlerde koşullu beklenen değer, değişkenin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılıp kendi tanım aralığında entegre edilmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Koşullu Beklenen Değer

Soru 106Soru →

Bir elektronik sistemdeki iki temel bileşenin arızalanma süreleri (yıl cinsinden) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} c \cdot x^2 \cdot y, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, sistemin olasılık modelinin geçerli olmasını sağlayan $c$ sabitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

4

6

10

15

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Sistemin olasılık modelinin geçerli olmasını sağlayan c sabiti 15'tir.

Sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun en temel özelliği, fonksiyonun tanımlı olduğu bölge üzerindeki çift katlı integralinin 1'e eşit olmasıdır. Verilen

0 < x < y < 1

sınırlarına göre dış integral

y

(

0

'dan

1

'e), iç integral

x

(

0

'dan

y

'ye) olarak kurulur.

\int_0^1 \left( \int_0^y c \cdot x^2 \cdot y \,dx \right) \,dy

işlemi adım adım çözüldüğünde

\frac{c}{15}

sonucu elde edilir. Toplam olasılık 1 olması gerektiğinden

\frac{c}{15} = 1

denklemi çözülerek sabitin değeri 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam Olasılık Kuralının Denklemini Kurma

\int \int f(x,y) \,dx\,dy = 1

eşitliği yazılır.

Sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonlarının geçerli olabilmesi için tüm tanımlı uzay üzerindeki integralinin (hacminin) 1'e eşit olması zorunludur.

2

İntegral Sınırlarının Belirlenmesi

Bölge

0 < x < y < 1

olduğundan, dış integral

y

için

0

'dan

1

'e, iç integral

x

için

0

'dan

y

'ye kadar sınırlandırılır.

İki katlı integralde içteki değişkenin sınırları dıştaki değişkene bağlı olarak tanımlanmalıdır.

3

İç İntegralin (x'e göre) Hesaplanması

\int_0^y c \cdot x^2 \cdot y \,dx = c \cdot y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y = c \cdot y \cdot \frac{y^3}{3} = \frac{c}{3} y^4

İç integralde

y

sabit gibi düşünülerek sadece

x

'e göre integral alınır ve sınırlar yerine konur.

4

Dış İntegralin (y'ye göre) Hesaplanması

\int_0^1 \frac{c}{3} y^4 \,dy = \frac{c}{3} \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^1 = \frac{c}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{c}{15}

İç integralden elde edilen sonuç, dış değişken olan

y

'ye göre entegre edilerek tüm hacim hesaplanır.

5

Sabitin Değerinin Bulunması

\frac{c}{15} = 1 \implies c = 15

Bulunan toplam hacim değeri kural gereği 1'e eşitlenerek bilinmeyen katsayı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarında iki katlı integral ve normalizasyon (toplam olasılığın 1 olması) şartı.

Alternatif Yöntem

İki katlı integralde bölge sınırlarını belirlerken integrasyon sırası da değiştirilebilir. Dış integrali x'e göre (

0 < x < 1

), iç integrali y'ye göre (

x < y < 1

) aldığımızda işlem şu şekilde olur:

\int_0^1 \int_x^1 c \cdot x^2 \cdot y \,dy\,dx = \int_0^1 c \cdot x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_x^1 \,dx = \int_0^1 \frac{c}{2} (x^2 - x^4) \,dx = \frac{c}{2} \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{c}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \frac{c}{2} \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{c}{15}

. Sonuç yine değişmez ve c = 15 bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 107Soru →

Bir tarım müdürlüğü tarafından bölgedeki tarım arazilerinin yıllık verimlilik denetimleri yapılmaktadır. Geçmiş verilere göre, incelenen her bir arazinin verimlilik durumu dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır:

- Yüksek Verimli ( $X_1$ ): %40 olasılık
- Orta Verimli ( $X_2$ ): %30 olasılık
- Düşük Verimli ( $X_3$ ): %20 olasılık
- Verimsiz ( $X_4$ ): %10 olasılık

Rastgele ve birbirinden bağımsız olarak 200 tarım arazisi incelenmiştir. Tüm arazilerin verimlilik durumlarının toplamı tam olarak 200'e eşittir.

Buna göre, orta verimli arazi sayısı ile düşük verimli arazi sayısı arasındaki kovaryans $Cov(X_2, X_3)$ ve yüksek verimli arazi sayısının varyansı $Var(X_1)$ değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

-12

ve

48

12

ve

48

0

ve

48

-12

ve

80

-42

ve

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-12$ ve $48$

Cevap

Orta ve düşük verimli araziler arasındaki kovaryans -12, yüksek verimli arazilerin varyansı ise 48'dir.

Verilen problemde sabit

n=200

deneme ve 4 farklı sonuç (kategori) bulunmaktadır, bu da durumun Multinomiyal Dağılım olduğunu gösterir. Multinomiyal dağılımda herhangi iki

X_i

ve

X_j

değişkeni arasındaki kovaryans

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

formülü ile hesaplanır. Buna göre

Cov(X_2, X_3) = -200 cdot 0,30 cdot 0,20 = -12

bulunur. Herhangi bir

X_i

değişkeninin marjinal varyansı ise

Var(X_i) = n p_i (1-p_i)

formülü ile hesaplanır.

X_1

'in varyansı

Var(X_1) = 200 cdot 0,40 cdot 0,60 = 48

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini ve incelenen değişkenleri belirleyin.

n = 200

,

p_1 = 0,40

,

p_2 = 0,30

,

p_3 = 0,20

,

p_4 = 0,10

. Toplam olasılık 1'dir ve durum multinomiyal dağılıma uymaktadır.

Değişkenlerin sayımları toplamı sabit bir

n

değerine eşit olduğu için çok değişkenli olasılık yapısının multinomiyal olduğunu doğrulamak gereklidir.

2

Orta verimli (

X_2

) ve düşük verimli (

X_3

) araziler arasındaki kovaryansı hesaplayın.

Cov(X_2, X_3) = -n cdot p_2 cdot p_3 = -200 cdot 0,30 cdot 0,20 = -200 cdot 0,06 = -12

.

Multinomiyal dağılımda, toplam gözlem sayısı sabit olduğundan herhangi bir kategorideki artış diğerlerinde azalışa neden olur. Bu nedenle iki farklı kategori arasındaki kovaryans daima negatiftir ve

-n p_i p_j

formülü ile bulunur.

3

Yüksek verimli arazilerin (

X_1

) varyansını hesaplayın.

Var(X_1) = n cdot p_1 cdot (1 - p_1) = 200 cdot 0,40 cdot (1 - 0,40) = 200 cdot 0,40 cdot 0,60 = 200 cdot 0,24 = 48

.

Multinomiyal dağılımda herhangi bir tekil kategorinin marjinal dağılımı Binom dağılımıdır. Bu nedenle varyans hesabı Binom varyans formülü olan

np(1-p)

ile yapılır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Varyans ve Kovaryans

Soru 108Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen altyapı projelerinde, birinci fazın tamamlanma süresi $X$ (ay) ve ikinci fazın tamamlanma süresi $Y$ (ay) olarak modellenen iki sürekli rastgele değişkendir. Proje yönetim birimi, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ 'nin yalnızca $0 < x < 12$ ve $0 < y < 12 - x$ koşullarını sağlayan bölgede pozitif değerler aldığını belirlemiştir. Kurum uzmanları, risk analizi yaparken hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla $X$ ve $Y$ değişkenlerinin birbirinden bağımsız olduğunu varsaymak istemektedir.

Bu duruma ve uzmanların yaklaşımına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge bir dikdörtgen oluşturmadığından,

X

ve

Y

değişkenleri kesinlikle bağımlıdır ve uzmanların varsayımı yanlıştır.

Eğer bu değişkenler arasındaki kovaryans değeri sıfır olarak hesaplanırsa, uzmanların bağımsızlık varsayımı her durumda geçerli olur.

Değişkenler aynı örnek uzay üzerinde tanımlı olduğu ve ortak bir projeyi temsil ettiği için ayrık olaylar olarak değerlendirilir ve dolayısıyla bağımsızdırlar.

Değişkenlerin sınır kısıtları ne olursa olsun, sürekli değişkenlerin doğası gereği

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliği her zaman sağlanacağından uzmanların varsayımı doğrudur.

Projenin toplam tamamlanma süresi olan

X+Y

'nin dağılımı bulunurken, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının doğrudan çarpımı kullanılabileceği için uzmanların bağımsızlık varsayımı yerindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge bir dikdörtgen oluşturmadığından, $X$ ve $Y$ değişkenleri kesinlikle bağımlıdır ve uzmanların varsayımı yanlıştır.

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge bir dikdörtgen oluşturmadığından,

X

ve

Y

değişkenleri kesinlikle bağımlıdır ve uzmanların varsayımı yanlıştır.

İki rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için gerekli koşullardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesinin (pozitif olduğu bölge), her iki değişkenin tanımlı olduğu marjinal aralıkların kartezyen çarpımı formunda olmasıdır. Geometrik olarak bu, bölgenin koordinat eksenlerine paralel bir dikdörtgen (veya sınırsız bantlar) oluşturmasını gerektirir. Soru bağlamındaki

0 < y < 12 - x

koşulu,

Y

'nin alabileceği değer aralığının doğrudan

X

'in alacağı değere bağlı olduğunu gösterir. Destek kümesi üçgensel bir bölge olduğundan,

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

parçalanması mümkün değildir ve değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölgeyi (destek kümesini) analiz et.

0 < x < 12

ve

0 < y < 12 - x

eşitsizlikleri koordinat düzleminde dik üçgen şeklinde bir bölge belirtir.

Bağımsızlık şartının ilk adımı, destek kümesinin sınırlarının birbirine bağlı olup olmadığını kontrol etmektir.

2

Destek kümesinin geometrik şeklini bağımsızlık kuralı ile karşılaştır.

Destek kümesi eksenlere paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmamaktadır.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için,

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliğinin her

x

ve

y

için sağlanması ve tanım kümesinin (destek kümesi) bir kartezyen çarpım, yani eksenlere paralel bir dikdörtgen olması matematiksel bir zorunluluktur.

3

Uzmanların varsayımını değerlendir.

Y

'nin üst sınırı doğrudan

X

'in aldığı değere bağlı olduğu için değişkenler bağımlıdır.

Tanım kümesindeki bu kısıt,

X

ve

Y

değişkenleri arasında yapısal bir bağımlılık olduğunu kanıtlar, bu sebeple uzmanların bağımsızlık varsayımı yanlıştır.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin destek kümesinin sınır özellikleri

Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar