Bir çağrı merkezinde, birinci tip müşteri şikayetinin çözülme süresi X (saat) ve ikinci ti… — KPSS İstatistik

Bir çağrı merkezinde, birinci tip müşteri şikayetinin çözülme süresi $X$ (saat) ve ikinci tip müşteri şikayetinin çözülme süresi $Y$ (saat) sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. İkinci tip şikayetlerin çözümü, her zaman birinci tip şikayetin çözümünden sonra tamamlanabilmektedir ( $Y > X$ ).

Bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)}, & 0 < x < y < \infty \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlık durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü ortak yoğunluk fonksiyonundaki $e^{-(x+y)}$ ifadesi matematiksel olarak $e^{-x}$ ve $e^{-y}$ şeklinde iki ayrı fonksiyonun çarpımı olarak ayrılabilmektedir.
Çözüm süreleri bağımlıdır; çünkü değişkenlerin tanımlı oldukları ortak destek kümesinin (tanım aralığının) sınırları $x < y$ koşuluna bağlıdır ve dikdörtgensel bir alan belirtmez.Cevap
C
Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun $0 < x < y < \infty$ aralığındaki toplam integrali, olasılık aksiyomları gereği $1$ 'e eşittir.
D
Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü rastgele değişkenlerin beklenen değerleri hesaplandığında, genel geçer bir kural olan $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ eşitliği sağlanmaktadır.
E
Çözüm süreleri birbirinden bağımsızdır; çünkü iki rastgele değişkenin sürekli bir dağılıma sahip olması, aralarındaki olası sıfır kovaryansın tam bağımsızlığı garantilemesi için yeterlidir.

Cevap

Doğru seçenek, çözüm sürelerinin tanımlı oldukları ortak destek kümesinin

x < y

koşuluna bağlı olması nedeniyle dikdörtgensel bir alan oluşturmadığını ve bu yüzden bağımlı olduklarını belirten seçenektir.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için gerek ve yeter şart, her

(x,y)

noktası için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının çarpımına eşit olmasıdır (

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

). Bu matematiksel eşitliğin tam anlamıyla sağlanabilmesi için, değişkenlerin tanımlı oldukları destek kümelerinin (değer aralıklarının) sınırlarının birbirlerinden bağımsız sabitlerden oluşması, yani iki boyutlu uzayda 'dikdörtgensel' bir alan (Kartezyen çarpım) belirtmesi zorunludur. Soruda verilen fonksiyonda

x < y

kısıtı bulunduğu için

Y

'nin tanım aralığı doğrudan

X

'e bağlıdır. Dolayısıyla destek kümesi dikdörtgensel değildir ve değişkenler bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

Bağımsızlık şartını tanımlama

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliğinin tüm

x, y

değerleri için sağlanması gerekliliğinin belirlenmesi.

İki sürekli değişkenin bağımsızlığı için ortak yoğunluk fonksiyonunun, marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımına her durumda tam olarak eşit olması şarttır.

Destek kümesini (tanım alanını) analiz etme

Fonksiyonun

0 < x < y < \infty

sınırları içinde tanımlı olduğunun, yani

y

'nin alt sınırının

x

'in alacağı değere bağımlı olduğunun tespit edilmesi.

Bağımsız değişkenlerin alabilecekleri değer aralıkları (destek kümeleri) birbirlerinden bağımsız sabitlerden oluşmalıdır.

Sınırların bağımlılık etkisini değerlendirme

Destek kümesinin Kartezyen çarpım (dikdörtgensel bölge) olmadığının ve bu nedenle marjinal dağılımların çarpımının orijinal bölgeyi veremeyeceğinin fark edilmesi.

Destek kümesi dikdörtgensel değilse,

f(x,y)

analitik olarak çarpanlara ayrılabilse bile (

e^{-x} \cdot e^{-y}

gibi), destek bölgeleri uyuşmayacağından bağımsızlık koşulu ihlal edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin destek kümesinin dikdörtgensel (Kartezyen çarpım) olma zorunluluğu.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular