Bir yazılım firmasının geliştirdiği yeni bir uygulamanın kullanıcı davranışları üzerinde y… — KPSS İstatistik

Bir yazılım firmasının geliştirdiği yeni bir uygulamanın kullanıcı davranışları üzerinde yapılan bir analizde, kullanıcıların uygulamada geçirdikleri toplam sürenin (saat cinsinden) $X$ ve sadece profil düzenleme sayfasında geçirdikleri sürenin $Y$ olduğu belirlenmiştir.

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi modellenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bir kullanıcının profil düzenleme sayfasında $\frac{1}{3}$ saat geçirdiği bilindiğine göre, uygulamada geçirdiği toplam sürenin $\frac{1}{2}$ saatten az olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{9}{32}$
B
$\frac{5}{27}$
$\frac{5}{32}$ Cevap
D
$\frac{5}{36}$
E
$\frac{27}{32}$

Cevap

\frac{5}{32}

Doğru seçenekte, öncelikle

Y

'nin marjinal fonksiyonu doğru sınırlar (

y

'den

1

'e) kullanılarak hesaplanmış ve payda için

f_Y(1/3) = \frac{32}{27}

değeri bulunmuştur. Ardından formül yardımıyla

f_{X|Y}(x|1/3) = \frac{9}{4}x

elde edilmiş, son olarak da destek kümesinin kısıtlamasından doğan alt sınır (

X > Y \Rightarrow x > 1/3

) ile soruda istenen üst sınır (

1/2

) arasında integral alınarak sonuca ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

Y = \frac{1}{3}

için

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f_Y(y)

hesaplanması.

f_Y(y) = \int_{y}^{1} 8xy \, dx = 4y \left[ x^2 \right]_{y}^{1} = 4y(1 - y^2) = 4y - 4y^3

Koşullu olasılık dağılımını elde etmek için öncelikle bilinen değişkenin (Y) kendi marjinal dağılımına ihtiyaç vardır.

y = \frac{1}{3}

değerinin marjinal fonksiyonda yerine konulması.

f_Y\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right) - 4\left(\frac{1}{27}\right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{27} = \frac{36 - 4}{27} = \frac{32}{27}

Koşullu olasılık formülünün paydasını (normalizasyon sabiti) belirlemek gereklidir.

X

'in

Y = \frac{1}{3}

koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_{X|Y}(x|\frac{1}{3})

) bulunması.

f_{X|Y}\left(x|\frac{1}{3}\right) = \frac{f(x, 1/3)}{f_Y(1/3)} = \frac{8x(1/3)}{32/27} = \frac{8x/3}{32/27} = \frac{9}{4}x

(Burada aralık:

\frac{1}{3} < x < 1

)

Olasılığı hesaplanacak olan olayın yeni durumdaki (koşul altındaki) olasılık modelini elde etmek.

Tanımlı sınırlar dikkate alınarak

P\left(X < \frac{1}{2} \Big| Y = \frac{1}{3}\right)

olasılığının hesaplanması.

\int_{1/3}^{1/2} \frac{9}{4}x \, dx = \frac{9}{8} \left[ x^2 \right]_{1/3}^{1/2} = \frac{9}{8} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{9}{8} \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5}{32}

İstenilen aralıktaki olasılığı bulmak için koşullu yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu alt sınırdan (y=1/3), istenen üst sınıra (1/2) kadar integrali alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Değişkenler İçin Koşullu Olasılık Dağılımları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular