Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMultinomiyal Dağılım

Bir tarım müdürlüğü tarafından bölgedeki tarım arazilerinin yıllık verimlilik denetimleri yapılmaktadır. Geçmiş verilere göre, incelenen her bir arazinin verimlilik durumu dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır:

- Yüksek Verimli (X1X_1): %40 olasılık
- Orta Verimli (X2X_2): %30 olasılık
- Düşük Verimli (X3X_3): %20 olasılık
- Verimsiz (X4X_4): %10 olasılık

Rastgele ve birbirinden bağımsız olarak 200 tarım arazisi incelenmiştir. Tüm arazilerin verimlilik durumlarının toplamı tam olarak 200'e eşittir.

Buna göre, orta verimli arazi sayısı ile düşük verimli arazi sayısı arasındaki kovaryans Cov(X2,X3)Cov(X_2, X_3) ve yüksek verimli arazi sayısının varyansı Var(X1)Var(X_1) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −12-12 ve 4848Cevap
  2. B
    1212 ve 4848
  3. C
    00 ve 4848
  4. D
    −12-12 ve 8080
  5. E
    −42-42 ve 8080

Cevap

Orta ve düşük verimli araziler arasındaki kovaryans -12, yüksek verimli arazilerin varyansı ise 48'dir.
Verilen problemde sabit n=200n=200 deneme ve 4 farklı sonuç (kategori) bulunmaktadır, bu da durumun Multinomiyal Dağılım olduğunu gösterir. Multinomiyal dağılımda herhangi iki XiX_i ve XjX_j değişkeni arasındaki kovaryans Cov(Xi,Xj)=−npipjCov(X_i, X_j) = -n p_i p_j formülü ile hesaplanır. Buna göre Cov(X2,X3)=−200cdot0,30cdot0,20=−12Cov(X_2, X_3) = -200 cdot 0,30 cdot 0,20 = -12 bulunur. Herhangi bir XiX_i değişkeninin marjinal varyansı ise Var(Xi)=npi(1−pi)Var(X_i) = n p_i (1-p_i) formülü ile hesaplanır. X1X_1'in varyansı Var(X1)=200cdot0,40cdot0,60=48Var(X_1) = 200 cdot 0,40 cdot 0,60 = 48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılım parametrelerini ve incelenen değişkenleri belirleyin.
n=200n = 200, p1=0,40p_1 = 0,40, p2=0,30p_2 = 0,30, p3=0,20p_3 = 0,20, p4=0,10p_4 = 0,10. Toplam olasılık 1'dir ve durum multinomiyal dağılıma uymaktadır.
Değişkenlerin sayımları toplamı sabit bir nn değerine eşit olduğu için çok değişkenli olasılık yapısının multinomiyal olduğunu doğrulamak gereklidir.
2
Orta verimli (X2X_2) ve düşük verimli (X3X_3) araziler arasındaki kovaryansı hesaplayın.
Cov(X2,X3)=−ncdotp2cdotp3=−200cdot0,30cdot0,20=−200cdot0,06=−12Cov(X_2, X_3) = -n cdot p_2 cdot p_3 = -200 cdot 0,30 cdot 0,20 = -200 cdot 0,06 = -12.
Multinomiyal dağılımda, toplam gözlem sayısı sabit olduğundan herhangi bir kategorideki artış diğerlerinde azalışa neden olur. Bu nedenle iki farklı kategori arasındaki kovaryans daima negatiftir ve −npipj-n p_i p_j formülü ile bulunur.
3
Yüksek verimli arazilerin (X1X_1) varyansını hesaplayın.
Var(X1)=ncdotp1cdot(1−p1)=200cdot0,40cdot(1−0,40)=200cdot0,40cdot0,60=200cdot0,24=48Var(X_1) = n cdot p_1 cdot (1 - p_1) = 200 cdot 0,40 cdot (1 - 0,40) = 200 cdot 0,40 cdot 0,60 = 200 cdot 0,24 = 48.
Multinomiyal dağılımda herhangi bir tekil kategorinin marjinal dağılımı Binom dağılımıdır. Bu nedenle varyans hesabı Binom varyans formülü olan np(1−p)np(1-p) ile yapılır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Varyans ve Kovaryans
Bu soruyu puanla

Konular

Multinomiyal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru