Bir kimya tesisinde üretilen iki farklı bileşiğin (X ve Y) günlük üretim miktarları (ton c… — KPSS İstatistik

Bir kimya tesisinde üretilen iki farklı bileşiğin ( $X$ ve $Y$ ) günlük üretim miktarları (ton cinsinden) aşağıdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{6}{5}(x^2 + y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir günde $Y$ bileşiğinden $\frac{1}{3}$ ton üretildiği bilindiğine göre, $X$ bileşiğinden $\frac{1}{2}$ tondan daha az üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{15}{44}$
$\frac{5}{16}$ Cevap
D
$\frac{5}{27}$
E
$\frac{7}{20}$

Cevap

İstenen olasılık

\frac{5}{16}

'dır.

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda

P(X < x_0 \mid Y = y_0)

şeklindeki ifadelerin çözümü iki ana adımdan oluşur. Öncelikle, koşul değişkeni olan

Y

'nin marjinal dağılımı

f_Y(y) = \int f(x,y) dx

formülü ile bulunur ve

y_0

noktasındaki değeri hesaplanır. Ardından,

f_{X|Y}(x|y_0) = \frac{f(x, y_0)}{f_Y(y_0)}

ilişkisi kurularak elde edilen yeni tek değişkenli fonksiyon, istenen aralıkta (

0

'dan

1/2

'ye kadar) entegre edilir. Bütün adımlar doğru uygulandığında sonucun

\frac{5}{16}

olduğu görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

hesaplanır.

f_Y(y) = \int_0^1 \frac{6}{5}(x^2 + y) dx = \frac{6}{5} \left[ \frac{x^3}{3} + xy \right]_0^1 = \frac{6}{5}\left(\frac{1}{3} + y\right) = \frac{2}{5} + \frac{6}{5}y

Sürekli ortak dağılımlarda koşullu dağılımı bulmak için, koşul olarak verilen değişkenin (burada Y) marjinal yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

Koşul olan

Y = 1/3

değeri marjinal yoğunluk fonksiyonunda yerine konur.

f_Y(1/3) = \frac{2}{5} + \frac{6}{5}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Koşullu olasılık yoğunluk formülünde

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

paydasını belirlemek gerekmektedir.

Y = 1/3

şartı altında

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x | 1/3)

elde edilir.

f_{X|Y}(x | 1/3) = \frac{\frac{6}{5}(x^2 + 1/3)}{4/5} = \frac{6}{4} \left(x^2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}

Olasılığı istenen olayın integrali, yalnızca bu elde edilen koşullu fonksiyon üzerinden alınabilir.

Bulunan koşullu fonksiyonun, istenen aralık olan

0 < x < 1/2

üzerinde integrali alınarak nihai olasılık bulunur.

P(X < 1/2 \mid Y = 1/3) = \int_0^{1/2} \left(\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}\right) dx = \left[ \frac{x^3}{2} + \frac{x}{2} \right]_0^{1/2} = \frac{(1/2)^3}{2} + \frac{1/2}{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16}

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığın olasılığı, ilgili yoğunluk fonksiyonunun o aralıktaki integrali alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu ve belirli bir aralık için integrasyon yoluyla koşullu olasılık hesabı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular