Examkin

Basit Rastgele Örnekleme

85 soru

Soru 81Soru →

Bir ilçe sağlık müdürlüğü, ilçede faaliyet gösteren toplam N=520N=520 eczanenin yeni bir e-reçete sistemine entegrasyon durumunu incelemektedir. Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=26n=26 eczane seçilmiş ve bu eczanelerden 1313'ünün sisteme tam entegre olduğu belirlenmiştir.

Buna göre, ilçedeki eczaneler arasında sisteme tam entegre olanların kitle oranına ilişkin tahminin varyansı (nokta tahminleyicisinin varyansı) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,00950,0095

Cevap

Doğru cevap 0,00950,0095 değeridir.
Doğru yanıt 0,00950,0095'tir. İadesiz basit rastgele örneklemede kitle oranının tahmin edilen varyansı V^(p)=N−nN⋅pqn−1\hat{V}(p) = \frac{N-n}{N} \cdot \frac{pq}{n-1} formülü ile bulunur. p=13/26=0,5p = 13/26 = 0,5 ve q=0,5q = 0,5 olarak bulunduğunda, pqn−1=0,2525=0,01\frac{pq}{n-1} = \frac{0,25}{25} = 0,01 elde edilir. SKD ise 520−26520=0,95\frac{520-26}{520} = 0,95'tir. İkisinin çarpımı 0,95⋅0,01=0,00950,95 \cdot 0,01 = 0,0095 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranını (pp) ve başarısızlık oranını (qq) hesapla.
p=13/26=0,5p = 13 / 26 = 0,5 ve q=1−0,5=0,5q = 1 - 0,5 = 0,5
Varyans tahmini için örneklemde gözlenen orana ihtiyaç vardır.
2
Düzeltilmemiş varyans kısmını (SKD hariç) hesapla.
p⋅qn−1=0,5⋅0,526−1=0,2525=0,01\frac{p \cdot q}{n-1} = \frac{0,5 \cdot 0,5}{26-1} = \frac{0,25}{25} = 0,01
Örneklem oranının yansız varyans tahminleyicisi, SKD ile çarpılmadan önce p⋅qn−1\frac{p \cdot q}{n-1} formülüyle hesaplanır.
3
Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) hesapla.
SKD=N−nN=520−26520=494520=0,95SKD = \frac{N - n}{N} = \frac{520 - 26}{520} = \frac{494}{520} = 0,95
Örnekleme iadesiz yapıldığı ve örneklem hacmi kitleye kıyasla anlamlı bir boyutta olduğu için SKD uygulanması zorunludur.
4
Tahmin edilen kitle oranı varyansını (V^(p)\hat{V}(p)) hesapla.
V^(p)=SKD⋅p⋅qn−1=0,95⋅0,01=0,0095\hat{V}(p) = SKD \cdot \frac{p \cdot q}{n-1} = 0,95 \cdot 0,01 = 0,0095
Nihai nokta tahminleyicisinin varyansı, düzeltilmemiş varyans ile SKD'nin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İadesiz Basit Rastgele Örneklemede Oran Varyansı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı
Soru 82Soru →

Bir Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı denetçisi, belirli bir bölgede faaliyet gösteren yetkilendirilmiş N=100N=100 akaryakıt istasyonunun aylık ortalama çevre ve güvenlik denetimi sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=25n=25 istasyonluk bir örneklem seçilmiş ve bu istasyonlara ait aylık denetim sayılarının ortalaması xˉ=210\bar{x} = 210, ortalamadan sapmaların kareleri toplamı ise ∑i=125(xi−xˉ)2=2400\sum_{i=1}^{25} (x_i - \bar{x})^2 = 2400 olarak hesaplanmıştır.

Denetçi, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansını (v(xˉ)v(\bar{x})) bulmak istemektedir.

Buna göre, kitlenin sonsuz büyüklükte olduğu (veya sonlu kitle düzeltme çarpanının ihmal edildiği) varsayımı altında hesaplanan varyans değeri ile gerçek kitle büyüklüğü dikkate alınarak hesaplanan varyans değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44 ve 33

Cevap

Doğru hesaplama sonucunda sonsuz kitle varsayımı altında varyans 44, gerçek kitle büyüklüğü dikkate alındığında ise 33 olarak bulunur.
Çözüme ulaşmak için öncelikle yansız örneklem varyansı hesaplanır: s2=∑(xi−xˉ)2/(n−1)=2400/24=100s^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 / (n-1) = 2400 / 24 = 100. Sonsuz kitle varsayımında (düzeltmesiz), kitle ortalamasının tahmini varyansı v(xˉ)=s2/n=100/25=4v(\bar{x}) = s^2 / n = 100 / 25 = 4 olarak bulunur. Gerçek kitle sonlu (N=100N=100) olduğu için Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı olan (1−f)=(100−25)/100=0,75(1-f) = (100-25)/100 = 0,75 değeri kullanılır. Gerçek varyans değeri 4×0,75=34 \times 0,75 = 3 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem varyansının (s2s^2) yansız bir şekilde hesaplanması.
s2=240025−1=240024=100s^2 = \frac{2400}{25-1} = \frac{2400}{24} = 100
Kitle varyansını örneklemden yansız olarak tahmin edebilmek için sapmaların kareleri toplamı (n−1)(n-1) serbestlik derecesine bölünmelidir.
2
Sonsuz kitle varsayımı altında ortalama tahmin edicisinin varyansının bulunması.
v(xˉ)sonsuz=s2n=10025=4v(\bar{x})_{sonsuz} = \frac{s^2}{n} = \frac{100}{25} = 4
Kitle büyüklüğünün sonsuz olduğu (veya iadeli çekiliş yapıldığı) durumlarda, tahmin edicinin varyansı doğrudan örneklem varyansının örneklem hacmine bölümü ile elde edilir.
3
Sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) hesaplanması.
SKD = 1−f=N−nN=100−25100=0,751 - f = \frac{N-n}{N} = \frac{100-25}{100} = 0,75
Örnekleme kesri f=25100=0,25f = \frac{25}{100} = 0,25 değeri 0,050,05'ten büyük olduğu için iadesiz çekilişte SKD çarpanı mutlaka kullanılmalıdır.
4
Gerçek kitle büyüklüğü dikkate alınarak nihai varyansın hesaplanması.
v(xˉ)sonlu=(1−f)×v(xˉ)sonsuz=0,75×4=3v(\bar{x})_{sonlu} = (1 - f) \times v(\bar{x})_{sonsuz} = 0,75 \times 4 = 3
Sonlu bir kitlede iadesiz çekilişin varyansı düşürücü etkisi, SKD çarpanının sonsuz kitle varyans tahminiyle çarpılmasıyla formüle yansıtılır.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede Ortalama Tahmin Edicisinin Varyansı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD)
Soru 83Soru →

Bir Gümrük Bölge Müdürlüğü, belirli bir haftada işlem gören toplam N=325N=325 adet transit beyannamesi dosyasında eksik evrak bulunma durumunu denetlemek istemektedir. Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=65n=65 adet dosya seçilmiş ve incelenen bu dosyaların 1313'ünde eksik evrak tespit edilmiştir.

Buna göre, müdürlükteki tüm beyanname dosyaları için eksik evrak bulunma oranının nokta tahmini (pp) ve bu oranın varyans tahmini (V^(p)\hat{V}(p)) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: p=0,20 ; V^(p)=0,0020p = 0,20 \ ; \ \hat{V}(p) = 0,0020

Cevap

Eksik evrak oranı p=0,20p = 0,20 ve varyans tahmini V^(p)=0,0020\hat{V}(p) = 0,0020 olarak bulunan seçenektir.
Nokta tahmini, örneklemde eksik evrak bulunan dosya sayısının toplam örnekleme bölünmesiyle p=13/65=0,20p = 13/65 = 0,20 olarak bulunur. Varyans tahmini ise iadesiz seçim formülü olan V^(p)=N−nN⋅p⋅qn−1\hat{V}(p) = \frac{N-n}{N} \cdot \frac{p \cdot q}{n-1} ile hesaplanır. Değerler yerine konduğunda: 325−65325⋅0,20⋅0,8064=0,80⋅0,0025=0,0020\frac{325-65}{325} \cdot \frac{0,20 \cdot 0,80}{64} = 0,80 \cdot 0,0025 = 0,0020 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eksik evrak bulunma oranının nokta tahminini (pp) ve bulunmama oranını (qq) hesapla.
p=an=1365=0,20p = \frac{a}{n} = \frac{13}{65} = 0,20 ve q=1−p=0,80q = 1 - p = 0,80 bulunur.
Kitle oranının yansız tahminleyicisi, örneklemdeki ilgilenilen özelliğe sahip birim sayısının örneklem hacmine bölümüdür.
2
Örnekleme kesrini (ff) kontrol et ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) kullanılıp kullanılmayacağına karar ver.
f=nN=65325=0,20f = \frac{n}{N} = \frac{65}{325} = 0,20. Bu değer 0,050,05'ten büyük olduğu için SKD (N−nN\frac{N-n}{N}) kullanılmalıdır. SKD=325−65325=0,80SKD = \frac{325-65}{325} = 0,80.
İadesiz seçimde ve sonlu kitlelerde, örneklem kitleye göre yeterince büyükse (%5'ten büyük), varyansın olduğundan fazla tahmin edilmesini önlemek için SKD kullanılmalıdır.
3
Oranın varyans tahminini (V^(p)\hat{V}(p)) yansız formül kullanarak hesapla.
V^(p)=N−nN⋅p⋅qn−1=0,80⋅0,20⋅0,8065−1=0,80⋅0,1664=0,80⋅0,0025=0,0020\hat{V}(p) = \frac{N-n}{N} \cdot \frac{p \cdot q}{n-1} = 0,80 \cdot \frac{0,20 \cdot 0,80}{65-1} = 0,80 \cdot \frac{0,16}{64} = 0,80 \cdot 0,0025 = 0,0020 bulunur.
Kitle oranın varyansının örneklemden elde edilen yansız tahminleyicisi, varyans formülünde paydanın (n−1)(n-1) alınması ve iadesiz seçim nedeniyle SKD ile çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

İadesiz basit rastgele örneklemede kitle oranının nokta tahmini ve SKD (Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı) dikkate alınarak oranın varyansının hesaplanması.
Soru 84Soru →

Bir ziraat mühendisi, bir araştırma istasyonundaki N=51N = 51 farklı deneme parselinin verim düzeylerini incelemektedir. Parsellerdeki verim değerlerine ilişkin kitle varyansı σ2=220\sigma^2 = 220 birimkare olarak hesaplanmıştır. Bu parseller arasından iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=11n = 11 parsel seçilerek bir örneklem oluşturulmuştur.

Buna göre, örneklem ortalamasının standart hatası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,00

Cevap

Örneklem ortalamasının standart hatası 4,00 birimdir.
Verilen kitle varyansı (σ2\sigma^2) üzerinden iadesiz seçim yapıldığında varyans formülü Var(yˉ)=σ2nN−nN−1Var(\bar{y}) = \frac{\sigma^2}{n} \frac{N-n}{N-1} şeklindedir. Değerler yerine konulduğunda varyans 16, standart hata ise bu değerin karekökü olan 4,00 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin belirlenmesi ve örnekleme kesrinin kontrolü
N=51N = 51, n=11n = 11, σ2=220\sigma^2 = 220. Örnekleme kesri f=n/N=11/51≈0,215>0,05f = n/N = 11/51 \approx 0,215 > 0,05.
Örnekleme kesri %5'ten büyük olduğu için iadesiz basit rastgele örneklemede sonlu kitle düzeltme çarpanı (SKD) kullanılmalıdır.
2
Örneklem ortalamasının varyansının hesaplanması
Var(yˉ)=σ2n(N−nN−1)=22011(51−1151−1)=20×4050=20×0,8=16Var(\bar{y}) = \frac{\sigma^2}{n} \left( \frac{N-n}{N-1} \right) = \frac{220}{11} \left( \frac{51-11}{51-1} \right) = 20 \times \frac{40}{50} = 20 \times 0,8 = 16.
Varyans formülüne SKD çarpanı eklenerek kitle büyüklüğünün örnekleme hatası üzerindeki azaltıcı etkisi hesaplanır.
3
Standart hatanın bulunması
SE(yˉ)=Var(yˉ)=16=4SE(\bar{y}) = \sqrt{Var(\bar{y})} = \sqrt{16} = 4.
Standart hata, varyansın kareköküdür.

Anahtar Kavram

İadesiz basit rastgele örneklemede, kitle sonlu ve örneklem hacmi kitleye oranla büyükse (%5 kuralı), varyans hesaplamasına sonlu kitle düzeltme çarpanı eklenir.
Soru 85Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, şehirde hizmet veren N=400N = 400 adet halk otobüsünün bir aylık toplam biniş (validasyon) sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla n=144n = 144 otobüs iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilmiş ve biniş verileri incelenmiştir.

Örnekleme sonucunda, seçilen otobüslerin bir aylık ortalama biniş sayısı yˉ=800\bar{y} = 800 ve biniş sayılarının standart sapması s=150s = 150 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, tüm otobüslerin bir aylık toplam biniş sayısı için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Standart normal dağılım tablo değerleri: Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 ve Z0,05=1,645Z_{0,05} = 1,645 olarak alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [312.160,  327.840][312.160, \; 327.840]

Cevap

Doğru güven aralığı [312.160,  327.840][312.160, \; 327.840] sınırlarını veren seçenektir.
Verilen problemde iadesiz seçim yapılmıştır ve örneklem, kitleye oranla yeterince büyük (n/N=144/400=0,36>0,05n/N = 144/400 = 0,36 > 0,05) olduğu için Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) zorunlu olarak uygulanmalıdır. Kitle toplamı tahmini Y^=400⋅800=320.000\hat{Y} = 400 \cdot 800 = 320.000 olarak bulunur. Kitle toplamı için standart hata formülü N⋅1−f⋅snN \cdot \sqrt{1 - f} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} şeklindedir. Değerler yerine konduğunda SE=400⋅0,64⋅15012=4.000SE = 400 \cdot \sqrt{0,64} \cdot \frac{150}{12} = 4.000 elde edilir. %95 güven aralığı istendiğinden Z=1,96Z = 1,96 kullanılarak hata payı E=1,96⋅4.000=7.840E = 1,96 \cdot 4.000 = 7.840 hesaplanır. Aranan güven aralığı 320.000±7.840320.000 \pm 7.840 işleminden [312.160,  327.840][312.160, \; 327.840] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle toplamı nokta tahminini (Y^\hat{Y}) hesapla.
Y^=N⋅yˉ=400⋅800=320.000\hat{Y} = N \cdot \bar{y} = 400 \cdot 800 = 320.000
Tüm otobüslerin toplam biniş sayısını tahmin etmek için kitle büyüklüğü ile örneklem ortalaması çarpılır.
2
Örnekleme kesrini (n/Nn/N) kontrol et ve gerekirse Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) hesapla.
n/N=144/400=0,36>0,05n/N = 144 / 400 = 0,36 > 0,05 olduğundan SKD zorunludur. SKD=1−0,36=0,64=0,8SKD = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8
Örneklem büyüklüğü kitle büyüklüğünün %5'ini aştığında standart hatada düzeltme yapılması gerekir.
3
Kitle toplamının standart hatasını (SE(Y^)SE(\hat{Y})) hesapla.
SE(Y^)=N⋅SKD⋅sn=400⋅0,8⋅150144=320⋅15012=320⋅12,5=4.000SE(\hat{Y}) = N \cdot SKD \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 400 \cdot 0,8 \cdot \frac{150}{\sqrt{144}} = 320 \cdot \frac{150}{12} = 320 \cdot 12,5 = 4.000
Kitle toplamının güven aralığını belirlemek için toplamın standart hatası (varyansın karekökü) bulunmalıdır.
4
%95 güven düzeyi için hata payını (EE) hesapla ve güven aralığını oluştur.
E=Z0,025⋅SE(Y^)=1,96⋅4.000=7.840E = Z_{0,025} \cdot SE(\hat{Y}) = 1,96 \cdot 4.000 = 7.840. Güven Aralığı =320.000±7.840=[312.160,  327.840]= 320.000 \pm 7.840 = [312.160, \; 327.840]
%95 güven düzeyi çift yönlü aralık gerektirdiğinden Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 kullanılır ve tahminden çıkarılıp/toplanarak alt ve üst sınırlar belirlenir.

Anahtar Kavram

İadesiz basit rastgele örneklemede kitle toplamının güven aralığı hesabı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) uygulaması
ÖncekiSayfa 5 / 5
Basit Rastgele Örnekleme Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5 | Examkin