Bir Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı denetçisi, belirli bir bölgede faaliyet gösteren y… — KPSS İstatistik

Bir Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı denetçisi, belirli bir bölgede faaliyet gösteren yetkilendirilmiş $N=100$ akaryakıt istasyonunun aylık ortalama çevre ve güvenlik denetimi sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=25$ istasyonluk bir örneklem seçilmiş ve bu istasyonlara ait aylık denetim sayılarının ortalaması $\bar{x} = 210$ , ortalamadan sapmaların kareleri toplamı ise $\sum_{i=1}^{25} (x_i - \bar{x})^2 = 2400$ olarak hesaplanmıştır.

Denetçi, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansını ( $v(\bar{x})$ ) bulmak istemektedir.

Buna göre, kitlenin sonsuz büyüklükte olduğu (veya sonlu kitle düzeltme çarpanının ihmal edildiği) varsayımı altında hesaplanan varyans değeri ile gerçek kitle büyüklüğü dikkate alınarak hesaplanan varyans değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$4$ ve $3$ Cevap
B
$3,84$ ve $2,88$
C
$4$ ve $1$
D
$4$ ve $4$
E
$100$ ve $75$

Cevap

Doğru hesaplama sonucunda sonsuz kitle varsayımı altında varyans

4

, gerçek kitle büyüklüğü dikkate alındığında ise

3

olarak bulunur.

Çözüme ulaşmak için öncelikle yansız örneklem varyansı hesaplanır:

s^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 / (n-1) = 2400 / 24 = 100

. Sonsuz kitle varsayımında (düzeltmesiz), kitle ortalamasının tahmini varyansı

v(\bar{x}) = s^2 / n = 100 / 25 = 4

olarak bulunur. Gerçek kitle sonlu (

N=100

) olduğu için Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı olan

(1-f) = (100-25)/100 = 0,75

değeri kullanılır. Gerçek varyans değeri

4 \times 0,75 = 3

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Örneklem varyansının (

s^2

) yansız bir şekilde hesaplanması.

s^2 = \frac{2400}{25-1} = \frac{2400}{24} = 100

Kitle varyansını örneklemden yansız olarak tahmin edebilmek için sapmaların kareleri toplamı

(n-1)

serbestlik derecesine bölünmelidir.

Sonsuz kitle varsayımı altında ortalama tahmin edicisinin varyansının bulunması.

v(\bar{x})_{sonsuz} = \frac{s^2}{n} = \frac{100}{25} = 4

Kitle büyüklüğünün sonsuz olduğu (veya iadeli çekiliş yapıldığı) durumlarda, tahmin edicinin varyansı doğrudan örneklem varyansının örneklem hacmine bölümü ile elde edilir.

Sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) hesaplanması.

SKD =

1 - f = \frac{N-n}{N} = \frac{100-25}{100} = 0,75

Örnekleme kesri

f = \frac{25}{100} = 0,25

değeri

0,05

'ten büyük olduğu için iadesiz çekilişte SKD çarpanı mutlaka kullanılmalıdır.

Gerçek kitle büyüklüğü dikkate alınarak nihai varyansın hesaplanması.

v(\bar{x})_{sonlu} = (1 - f) \times v(\bar{x})_{sonsuz} = 0,75 \times 4 = 3

Sonlu bir kitlede iadesiz çekilişin varyansı düşürücü etkisi, SKD çarpanının sonsuz kitle varyans tahminiyle çarpılmasıyla formüle yansıtılır.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede Ortalama Tahmin Edicisinin Varyansı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru