Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 8

Soru 141Soru →

Bir kalkınma ajansı, desteklediği işletmelerin yıllık yenilikçi ürün satış gelirlerinin kitle ortalamasını ( $Y$ , milyon TL) tahmin etmek istemektedir. İşletmeler teknoloji düzeylerine göre 'Yüksek Teknoloji' ve 'Orta-Düşük Teknoloji' olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Ajans, işletmelerin önceki yıl AR-GE harcamalarını ( $X$ , milyon TL) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır.

Aşağıdaki tabloda tabakalara ilişkin kitle ve örneklem bilgileri verilmiştir:

Parametre/İstatistik	Tabaka 1 (Yüksek Teknoloji)	Tabaka 2 (Orta-Düşük Teknoloji)
Kitle büyüklüğü ( $N_h$ )	200	300
Örneklem büyüklüğü ( $n_h$ )	25	25
Örneklem satış ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	40	15
Örneklem AR-GE ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	10	4
Kitle AR-GE ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	12	6
Tabaka içi regresyon katsayısı ( $b_h$ )	2,5	1,2

Veriler kullanılarak hesaplanan birleşik regresyon katsayısı $b_c = 1,5$ 'tir.

Buna göre, işletmelerin yıllık yenilikçi ürün satış gelirleri kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi (separate regression estimator) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

21,56

25,00

28,00

28,44

31,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28,44

Cevap

İşletmelerin yıllık yenilikçi ürün satış gelirleri kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi değeri 28,44 milyon TL'dir.

Tabakalı örneklemede ayrı regresyon tahminleyicisi (

\bar{y}_{lr(s)}

), her tabaka için kendi regresyon katsayısı (

b_h

) kullanılarak elde edilen düzeltilmiş ortalamaların, kitle tabaka ağırlıkları (

W_h

) ile çarpılarak birleştirilmesiyle bulunur. İşlem sırasıyla; ağırlıkların hesaplanması (

W_1 = 0,4

,

W_2 = 0,6

), tabaka regresyon tahminlerinin yapılması (Tabaka 1: 45, Tabaka 2: 17,4) ve bu tahminlerin ağırlıklandırılmasıyla (

0,4 \times 45 + 0,6 \times 17,4 = 28,44

) sonuçlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanması

Toplam kitle

N = 200 + 300 = 500

. Tabaka ağırlıkları:

W_1 = 200/500 = 0,4

ve

W_2 = 300/500 = 0,6

olarak bulunur.

Tabaka tahminlerini birleştirirken kitledeki doğru temsil oranlarını kullanmak gerekir.

2

Tabaka 1 için ayrı regresyon tahmininin hesaplanması

\bar{y}_{lr,1} = \bar{y}_1 + b_1(\bar{X}_1 - \bar{x}_1) = 40 + 2,5(12 - 10) = 40 + 5 = 45

milyon TL bulunur.

Birinci tabaka içindeki satış ortalaması, tabakanın kendi regresyon katsayısı ve AR-GE harcaması farkı ile düzeltilir.

3

Tabaka 2 için ayrı regresyon tahmininin hesaplanması

\bar{y}_{lr,2} = \bar{y}_2 + b_2(\bar{X}_2 - \bar{x}_2) = 15 + 1,2(6 - 4) = 15 + 2,4 = 17,4

milyon TL bulunur.

İkinci tabaka içindeki satış ortalaması, tabakanın kendi regresyon katsayısı ve AR-GE harcaması farkı ile düzeltilir.

4

Genel kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisinin bulunması

\bar{y}_{lr(s)} = W_1\bar{y}_{lr,1} + W_2\bar{y}_{lr,2} = (0,4 \times 45) + (0,6 \times 17,4) = 18 + 10,44 = 28,44

milyon TL olarak bulunur.

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her bir tabaka için hesaplanan düzeltilmiş ortalamaların kitle ağırlıklarıyla çarpılarak toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Ayrı Regresyon Tahminleyicisi (Separate Regression Estimator)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 142Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, şehrindeki $N = 50$ adet akıllı kavşak noktasının ağ performansını incelemektedir. Bu kavşaklardan basit rastgele örnekleme ile iadesiz olarak $n = 10$ kavşak seçilmiş ve bir günlük veri trafiği ölçülmüştür.

Kavşakların günlük toplam veri trafiği ( $X$ , GB) ve bu trafiğin içindeki ağ hata bildirim verisi ( $Y$ , GB) ölçülmüş ve aşağıdaki örneklem istatistikleri elde edilmiştir:

* $\bar{x} = 20$
* $\bar{y} = 5$
* $s_x^2 = 160$
* $s_y^2 = 15$
* $s_{xy} = 40$

Buna göre, toplam veri trafiği içindeki ağ hata bildirim verisi oranının tahminleyicisine ( $\hat{R}$ ) ait varyans tahmini $\widehat{V}(\hat{R})$ kaçtır?

0,001

0,00125

0,003

0,009

0,01

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,001$

Cevap

Doğru değer

0,001

'dir.

Oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken, öncelikle

\hat{R} = 0,25

değeri bulunmalıdır. Ardından hata karesi ortalaması

s_e^2 = 15 + (0,25)^2 \cdot 160 - 2 \cdot 0,25 \cdot 40 = 5

olarak hesaplanır. Örnekleme oranı %20 olduğu için SKD (0,80) uygulanarak

\widehat{V}(\hat{R}) = \frac{0,80}{10 \cdot 20^2} \cdot 5 = 0,001

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle oranının örneklem tahminleyicisini (

\hat{R}

) hesaplayın.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{5}{20} = 0,25

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişkenin örneklem ortalamasının, yardımcı değişkenin örneklem ortalamasına bölümüdür.

2

Oran tahminleyicisinin varyansında kullanılacak olan hata karesi ortalamasını (

s_e^2

) bulun.

s_e^2 = s_y^2 + \hat{R}^2 s_x^2 - 2\hat{R} s_{xy} = 15 + (0,25)^2(160) - 2(0,25)(40) = 15 + 10 - 20 = 5

Varyans hesaplamasında

Y

ve

X

değişkenleri arasındaki ilişki ve oranı dikkate alan düzeltilmiş hata terimi varyansına ihtiyaç vardır.

3

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) belirleyin.

\frac{n}{N} = \frac{10}{50} = 0,20 > 0,05

olduğundan SKD

= 1 - \frac{n}{N} = 1 - 0,20 = 0,80

olarak formüle dahil edilmelidir.

İadesiz seçimde ve örneklem büyüklüğü kitlenin %5'ini aştığında SKD kullanılması zorunludur.

4

Oran tahminleyicisinin varyansını (

\widehat{V}(\hat{R})

) formüle değerleri koyarak hesaplayın.

\widehat{V}(\hat{R}) = \frac{1 - f}{n \bar{x}^2} s_e^2 = \frac{0,80}{10 \times 20^2} \times 5 = \frac{0,80}{4000} \times 5 = \frac{4}{4000} = 0,001

Tüm hesaplanan değerler nihai varyans tahmin formülünde birleştirildiğinde kitle oranın tahmin varyansı bulunur.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Varyansı

Soru 143Soru →

Örnekleme teorisinde yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisinden yararlanılan tahminleyiciler incelendiğinde; regresyon tahminleyicisinin ( $\bar{y}_{lr}$ ) matematiksel olarak oran tahminleyicisine ( $\bar{y}_R$ ) dönüştüğü veya bu iki tahminleyicinin asimptotik olarak özdeş (aynı varyansa sahip) olduğu durum aşağıdakilerden hangisidir?

Değişkenler arasındaki ilişkinin orijinden geçen bir doğru şeklinde olması

Değişkenler arasındaki korelasyon katsayısının sıfıra eşit olması

İlgilenilen değişkenin varyansının yardımcı değişkenin varyansından küçük olması

Her iki değişkenin de normal dağılım göstermesi

Örneklem hacminin kitle büyüklüğünün yarısından fazla olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişkenler arasındaki ilişkinin orijinden geçen bir doğru şeklinde olması

Cevap

Değişkenler arasındaki ilişkinin orijinden geçen bir doğru şeklinde olması durumunda regresyon ve oran tahminleyicileri asimptotik olarak özdeş hale gelir.

Değişkenler arasındaki ilişkinin orijinden geçen bir doğru şeklinde olması durumunda, regresyon doğrusunun sabit terimi sıfıra yaklaşır ve regresyon katsayısı ile değişkenlerin oranı birbirine eşit olur. Bu durumda regresyon tahminleyicisi matematiksel olarak oran tahminleyicisine indirgenir ve her iki tahminleyici de asimptotik olarak aynı hata kareler ortalamasına (varyansa) sahip olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tahminleyicilerin yapılarını karşılaştırın.

Regresyon tahminleyicisi

\bar{y}_{lr} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})

formülüne sahipken, oran tahminleyicisi

\bar{y}_R = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} \bar{X}

formülüyle hesaplanır.

İki tahminleyici arasındaki fark, ilişkinin eğimi (

b

) ile oran (

R = \bar{y}/\bar{x}

) arasındaki ilişkiden kaynaklanır.

2

Orijinden geçme koşulunu analiz edin.

Eğer

y

ve

x

arasındaki ilişki

y = \beta x

formunda bir doğru ise (sabit terim sıfır ise), regresyon katsayısı (

b

) örneklemdeki oran değerine (

r = \bar{y}/\bar{x}

) yaklaşır.

Regresyon doğrusunun orijinden geçmesi, oran tahminleyicisinin temel varsayımıdır.

3

Varyansların (etkinliklerin) karşılaştırılmasını yapın.

Bu özel durumda regresyon tahminleyicisinin varyansı ile oran tahminleyicisinin varyansı eşitlenir.

Her iki tahminleyici de aynı doğrusal ilişkiyi modellemiş olur.

Anahtar Kavram

Oran ve Regresyon tahminleyicilerinin asimptotik özdeşliği

Daha Fazla Pratik

Regresyon tahminleyicisinin her zaman oran tahminleyicisinden daha etkin (veya en az onun kadar etkin) olmasının matematiksel nedenini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 144Soru →

Bir sigorta şirketi, kasko poliçesi düzenlediği araçların yıllık ortalama hasar onarım maliyetini ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla, araçların kasko bedellerini ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Şirket, kitleyi "Binek Araçlar" (Tabaka 1) ve "Ticari Araçlar" (Tabaka 2) olmak üzere iki tabakaya ayırmış ve tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir örneklem seçmiştir.

İstatistik	Tabaka 1 (Binek)	Tabaka 2 (Ticari)
Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	600	400
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	40	60
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	120	200
Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	45	50
Tabaka Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	1,5	2,0

Kitle büyüklüğü $N = 1000$ ve birleşik regresyon tahminleyicisi için ortak regresyon katsayısı $b_c = 1,6$ olarak verilmiştir.

Buna göre, kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{rs}$ ) ile birleşik regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{rc}$ ) kullanılarak elde edilen tahmin değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

148,5 ve 150,4

150,4 ve 148,5

153,75 ve 150,4

148,5 ve 153,6

155,5 ve 150,4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 148,5 ve 150,4

Cevap

Ayrı regresyon tahminleyicisi ile elde edilen kitle ortalaması tahmini 148,5; birleşik regresyon tahminleyicisi ile elde edilen kitle ortalaması tahmini ise 150,4'tür.

Ayrı regresyon tahminleyicisi hesaplanırken formül

\bar{y}_{rs} = \sum W_h [\bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)]

olarak uygulanır. Veriler yerine konulduğunda;

0,6 [120 + 1,5(45-40)] + 0,4 [200 + 2,0(50-60)] = 0,6(127,5) + 0,4(180) = 148,5

bulunur. Birleşik regresyon tahminleyicisinde ise formül

\bar{y}_{rc} = \bar{y}_{st} + b_c(\bar{X} - \bar{x}_{st})

şeklindedir. İlk olarak ağırlıklı ortalamalar bulunur:

\bar{y}_{st} = 152

,

\bar{x}_{st} = 48

ve

\bar{X} = 47

. Ortak katsayı (

b_c=1,6

) ile düzeltme yapıldığında

152 + 1,6(47-48) = 150,4

elde edilir. İstenen değerler sırasıyla 148,5 ve 150,4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanması

W_1 = 600/1000 = 0,6

ve

W_2 = 400/1000 = 0,4

Tabakalı örneklemede genel ortalamaları hesaplayabilmek için kitle büyüklüğündeki tabaka paylarının bulunması gerekir.

2

Ayrı regresyon tahminleyicisi için her bir tabakanın kendi regresyon tahmininin (

\bar{y}_{rs,h}

) bulunması

Tabaka 1:

120 + 1,5(45 - 40) = 127,5

Tabaka 2:

200 + 2,0(50 - 60) = 180,0

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabakanın kendi örneklem verisi ve kendi regresyon katsayısı kullanılarak elde edilir.

3

Ayrı regresyon tahminleyicisi (

\bar{y}_{rs}

) değerinin kitle için birleştirilmesi

\bar{y}_{rs} = 0,6 \times 127,5 + 0,4 \times 180,0 = 76,5 + 72,0 = 148,5

Kitle ortalaması tahmini, tabaka tahminlerinin ağırlıklı toplamı alınarak bulunur.

4

Birleşik regresyon tahminleyicisi (

\bar{y}_{rc}

) için tabakalı X ve Y ortalamalarının (

\bar{x}_{st}, \bar{y}_{st}

) ile kitle X ortalamasının (

\bar{X}

) hesaplanması

\bar{y}_{st} = 0,6(120) + 0,4(200) = 152

\bar{x}_{st} = 0,6(40) + 0,4(60) = 48

\bar{X} = 0,6(45) + 0,4(50) = 47

Birleşik regresyon tahminleyicisinde düzeltme işlemi, tabaka seviyesinde değil kitle seviyesinde tek bir adımda yapılır.

5

Birleşik regresyon tahminleyicisinin (

\bar{y}_{rc}

) formülünün uygulanması

\bar{y}_{rc} = \bar{y}_{st} + b_c(\bar{X} - \bar{x}_{st}) = 152 + 1,6(47 - 48) = 152 + 1,6(-1) = 150,4

Hesaplanan tabakalı ortalamalar ve ortak regresyon katsayısı

b_c

formülde yerine konularak nihai tahmin elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede ayrı regresyon (separate regression estimator) ve birleşik regresyon (combined regression estimator) tahminleyicilerinin formülleri ve uygulama farklılıkları.

Tahmini Süre:4m 0s

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar