Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 7

Soru 121Soru →

Bir sanayi bölgesinde faaliyet gösteren $N = 50$ üretim tesisinin haftalık toplam tehlikeli atık miktarının ( $Y$ , ton), bu tesislerdeki toplam makine sayısına ( $X$ ) olan oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 10$ tesislik bir örneklem seçilmiştir.

Örnekleme sonucunda aşağıdaki veriler elde edilmiştir:
- Örneklemdeki tesislerin haftalık toplam atık miktarı: $\sum_{i=1}^{10} y_i = 150$ ton
- Örneklemdeki tesislerin toplam makine sayısı: $\sum_{i=1}^{10} x_i = 50$ adet
- Artıkların kareleri toplamı: $\sum_{i=1}^{10} (y_i - \hat{R}x_i)^2 = 225$

Buna göre, kitle oranının tahmini ( $\hat{R}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $v(\hat{R})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\hat{R} = 3,00

ve

v(\hat{R}) = 0,080

\hat{R} = 3,00

ve

v(\hat{R}) = 0,100

\hat{R} = 3,00

ve

v(\hat{R}) = 2,000

\hat{R} = 3,00

ve

v(\hat{R}) = 0,072

\hat{R} = 0,33

ve

v(\hat{R}) = 0,080

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{R} = 3,00$ ve $v(\hat{R}) = 0,080$

Cevap

\hat{R} = 3,00

ve

v(\hat{R}) = 0,080

değerlerini içeren seçenektir.

Kitle oranı tahmini

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{150}{50} = 3,00

olarak hesaplanır. Oran tahmininin varyansı ise

v(\hat{R}) = \frac{1-f}{n\bar{x}^2} \cdot s_e^2

formülü ile bulunur. Burada örneklem ortalaması

\bar{x} = 5

, sonlu kitle düzeltme çarpanı

(1-f) = 1 - 0,2 = 0,8

ve

s_e^2 = \frac{225}{9} = 25

değerlerine eşittir. Bu değerler formülde yerine konulduğunda

v(\hat{R}) = \frac{0,8}{10 \times 25} \times 25 = 0,080

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle oranı tahminini (

\hat{R}

) hesapla.

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{150}{50} = 3,00

Kitle oranının basit rastgele örneklemedeki tahmini, örneklem toplamlarının birbirine bölümüdür.

2

Yardımcı değişkenin örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) bul.

\bar{x} = \frac{50}{10} = 5

ve

(1-f) = 1 - \frac{10}{50} = 0,8

Varyans formülünün bileşenlerini eksiksiz yerine koyabilmek için bu değerler gereklidir.

3

Artıkların varyansını (

s_e^2

) hesapla.

s_e^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{R}x_i)^2}{n-1} = \frac{225}{10-1} = 25

Örneklem üzerinden kestirim yapıldığı için artık kareler toplamı serbestlik derecesine (

n-1

) bölünmelidir.

4

Oran tahmininin varyansını (

v(\hat{R})

) hesapla.

v(\hat{R}) = \frac{1-f}{n\bar{x}^2} \cdot s_e^2 = \frac{0,8}{10 \times 5^2} \times 25 = \frac{0,8}{250} \times 25 = 0,080

Oran tahmincisinin varyans formülü ilgili değerlerin yerine konulmasıyla tamamlanır.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede Oran Tahminleyicisi ve Varyansı

Soru 122Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde görevli bir uzman, bölgesel hanehalkı gıda harcamalarını tahmin etmek amacıyla hanehalkı büyüklüğünü yardımcı değişken olarak modele dahil eden bir oran tahminleyicisi geliştirmiştir. Uzman, elde edeceği tahminlerin istatistiksel geçerliliğini değerlendirmek için bu tahminleyicinin varyansını, hata karesi ortalamasını (MSE) ve beklenen değerini kapsayan bir teorik inceleme yapmaktadır.

Yapılan bu inceleme kapsamında, kullanılan oran tahminleyicisinin yanlılığı (bias) ve hata karesi ortalaması ile ilgili aşağıdaki çıkarımlardan hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Tahminleyicinin yanlılığı hesaplanırken, örneklemden örnekleme değişen istatistiğin beklenen değeri yerine sadece sabit olan kitle parametresinin örnekleme varyansı dikkate alınır.

Yardımcı değişkenin modele dahil edilmesi, oran tahminleyicisinin örneklem hacminden bağımsız olarak her durumda daima yansız sonuçlar üretmesini garanti eder.

Oran tahminleyicisi genel olarak yanlı bir istatistiktir; fakat örneklem hacmi büyüdükçe bu yanlılık giderek azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız bir yapıya kavuşur.

İadesiz seçim yöntemiyle çalışılan tasarımlarda, oran tahminleyicisinin hata karesi ortalaması hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanının formüle eklenmesine gerek yoktur.

Oran tahminleyicisi yardımıyla kitle toplamı tahmin edilirken, ortalama tahminine ait hata karesi ortalaması değeri doğrudan kullanılır ve kitle hacminin karesiyle büyütme işlemi yapılmaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Oran tahminleyicisi genel olarak yanlı bir istatistiktir; fakat örneklem hacmi büyüdükçe bu yanlılık giderek azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız bir yapıya kavuşur.

Cevap

Oran tahminleyicisi genel olarak yanlı bir istatistiktir; fakat örneklem hacmi büyüdükçe bu yanlılık giderek azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız bir yapıya kavuşur.

Oran tahminleyicisi, doğası gereği iki rassal değişkenin oranından oluştuğu için küçük örneklem boyutlarında beklenen değeri kitle parametresine tam olarak eşit olmaz, yani yanlıdır. Ancak bu yanlılık örneklem hacmiyle ters orantılıdır (

O(n^{-1})

). Dolayısıyla örneklem hacmi arttıkça tahminleyicinin yanlılığı hızla azalır ve asimptotik yansızlık özelliği gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Oran tahminleyicisinin matematiksel yapısını ve beklenen değerini incele.

Oran tahminleyicisi (

\hat{R} = \bar{y} / \bar{x}

), iki rassal değişkenin birbirine oranı şeklinde tanımlandığı için doğrusal olmayan bir fonksiyondur. Bu durum tahminleyicinin küçük örneklem hacimlerinde yanlılık (bias) barındırmasına neden olur.

Tahminleyicinin neden her zaman yansız olamayacağını teorik olarak ortaya koymak için.

2

Örneklem hacminin (

n

) tahminleyicinin yanlılığı üzerindeki etkisini değerlendir.

Oran tahminleyicisinin yanlılığı yaklaşık olarak

1/n

ile orantılıdır. Örneklem hacmi büyüdükçe yanlılık miktarı sıfıra doğru yaklaşır.

Tahminleyicinin asimptotik yansızlık (büyük örneklemlerde yansızlaşma) özelliğini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Asimptotik Yansızlığı

Soru 123Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, şehirdeki otobüs hatlarının günlük ortalama yolcu sayısını ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla, hatlara tahsis edilen günlük sefer sayısını ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Otobüs hatları güzergâh uzunluğuna göre 'Kısa Mesafe' ve 'Uzun Mesafe' olarak iki tabakaya ayrılmıştır.

Kısa Mesafe tabakasında toplam 600, Uzun Mesafe tabakasında ise toplam 400 otobüs hattı bulunmaktadır. Orantılı dağıtım yöntemiyle toplam 100 hatlık bir örneklem seçilmiş olup aşağıdaki tablodaki veriler elde edilmiştir:

İstatistik / Parametre	Kısa Mesafe Tabakası ( $h=1$ )	Uzun Mesafe Tabakası ( $h=2$ )
Toplam hat sayısı ( $N_h$ )	600	400
Örneklem ortalama yolcu sayısı ( $\bar{y}_h$ )	400	600
Örneklem ortalama sefer sayısı ( $\bar{x}_h$ )	20	15
Kitle ortalama sefer sayısı ( $\bar{X}_h$ )	24	20
Sefer sayısının varyansı ( $s_{x_h}^2$ )	4	9
Değişkenler arası kovaryans ( $s_{xy_h}$ )	16	45

Buna göre, kitle ortalama yolcu sayısı için hesaplanan ayrı regresyon tahminleyicisinin (separate regression estimator) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

480,00

481,00

499,60

500,24

520,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 499,60

Cevap

Doğru yanıt, ayrı regresyon tahminleyicisi formülünün doğru bir şekilde uygulandığı 499,60 değeridir.

Kitle için ayrı regresyon tahminleyicisi, öncelikle her tabaka için kendi iç varyans ve kovaryansı ile elde edilen regresyon katsayılarının bulunmasını, daha sonra örneklem ortalamasının bu katsayı ve kitle-örneklem yardımcı değişken farkıyla düzeltilmesini gerektirir. Elde edilen düzeltilmiş tabaka ortalamaları (

416

ve

625

), kitledeki tabaka büyüklüklerine göre (

0,6

ve

0,4

) ağırlıklandırılarak toplandığında doğru sonuç 499,60 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanması

N = 600 + 400 = 1000

. Kısa mesafe için

W_1 = 600 / 1000 = 0,6

, Uzun mesafe için

W_2 = 400 / 1000 = 0,4

olarak bulunmuştur.

Tabakalardan elde edilen sonuçları kitleye genellerken her tabakanın kitledeki gerçek ağırlığı kullanılmalıdır.

2

Her tabaka için ayrı regresyon katsayılarının (

b_h

) hesaplanması

Kısa mesafe:

b_1 = s_{xy1} / s_{x1}^2 = 16 / 4 = 4

. Uzun mesafe:

b_2 = s_{xy2} / s_{x2}^2 = 45 / 9 = 5

.

Ayrı regresyon tahminleyicisinde her tabaka kendi iç ilişkisine (katsayısına) göre düzeltilir.

3

Tabakalar için ayrı regresyon tahminleyicilerinin (

\bar{y}_{lr,h}

) bulunması

Kısa mesafe:

\bar{y}_{lr1} = 400 + 4(24 - 20) = 416

. Uzun mesafe:

\bar{y}_{lr2} = 600 + 5(20 - 15) = 625

.

Örneklem ortalaması, kitle ile örneklem arasındaki yardımcı değişken farkı ve regresyon katsayısı kullanılarak düzeltilir.

4

Kitle ayrı regresyon tahminleyicisinin (

\bar{y}_{rs}

) hesaplanması

\bar{y}_{rs} = W_1 \bar{y}_{lr1} + W_2 \bar{y}_{lr2} = 0,6 \times 416 + 0,4 \times 625 = 249,6 + 250,0 = 499,6

.

Düzeltilmiş tabaka tahminleri, tabaka ağırlıklarıyla çarpılarak tüm kitle için nihai tahmine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ayrı regresyon tahminleyicisinde, her tabaka için o tabakaya özgü bağımsız değişken ilişkisi (regresyon katsayısı) kullanılarak önce tabaka içi düzeltme yapılır, ardından bu değerler kitle geneli için tabaka ağırlıkları oranında birleştirilir.

Soru 124Soru →

Bir tarım araştırmasında, arazilerdeki ortalama ürün rekoltesini ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla geniş hacimli bir basit rastgele örneklem planlanmaktadır. Tahminin duyarlılığını artırmak için önceki yıla ait gübre kullanım miktarı ( $x$ ) yardımcı değişken olarak modele dâhil edilmek istenmektedir.

Yapılan ön analizlerde, ilgilenilen değişkene ait değişim katsayısı $C_y = 0.40$ , yardımcı değişkene ait değişim katsayısı $C_x = 0.70$ ve bu iki değişken arasındaki doğrusal korelasyon katsayısı $\rho = 0.60$ olarak hesaplanmıştır.

Geniş örneklem varsayımı altında; kitle ortalamasının tahmini için basit rastgele örnekleme ortalamasının varyansı $V(\bar{y})$ , oran tahminleyicisinin varyansı $V(\bar{y}_R)$ ve doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı $V(\bar{y}_{lr})$ ile gösterildiğine göre, bu üç tahminleyicinin varyansları (etkinlikleri) arasındaki büyüklük sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

V(\bar{y}) < V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}_R)

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)$

Cevap

Regresyon tahminleyicisinin varyansı en küçük, oran tahminleyicisinin varyansı ise en büyüktür:

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

Verilen probleme göre, regresyon tahminleyicisi aradaki korelasyon katsayısı (

\rho = 0.60

) sıfırdan farklı olduğu için her zaman basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasından daha küçüktür (

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

). Ancak oran tahminleyicisinin BRÖ ortalamasından daha iyi sonuç vermesi için

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulu gereklidir. Sorudaki değerler yerine konduğunda,

\frac{0.70}{2(0.40)} = 0.875

bulunur. Mevcut korelasyon (

0.60

), bu kritik eşiğin (

0.875

) altında kaldığı için oran tahminleyicisi tahminin duyarlılığını bozmuş ve BRÖ ortalamasından daha büyük bir varyansa sahip olmuştur (

V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

). Dolayısıyla doğru sıralama

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon tahminleyicisi ile basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasının etkinliklerini karşılaştırın.

\rho = 0.60 \neq 0

olduğu için

V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y})(1 - \rho^2)

bağıntısı gereği

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

olur.

Regresyon tahminleyicisi, korelasyon katsayısı sıfırdan farklı olduğu sürece büyük örneklemlerde BRÖ ortalamasından her zaman daha küçük varyansa sahiptir.

2

Oran tahminleyicisinin BRÖ ortalamasından daha etkin olması için gereken teorik koşulu kontrol edin.

Koşul:

\rho > \frac{1}{2} \frac{C_x}{C_y}

formülü hesaplanır.

Oran tahminleyicisi her zaman BRÖ'den daha iyi değildir; yalnızca doğrusal ilişkinin orijine yakın geçtiği ve korelasyonun yeterince yüksek olduğu bu koşul sağlandığında varyansı düşürür.

3

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koyarak durumu sınayın.

\frac{1}{2} \frac{0.70}{0.40} = \frac{1}{2} \times 1.75 = 0.875

. Verilen korelasyon

\rho = 0.60

'dır.

0.60 < 0.875

olduğu için oran tahminleyicisi BRÖ'den daha AZ etkindir (

V(\bar{y}_R) > V(\bar{y})

).

Korelasyon katsayısı kritik eşiği (0.875) aşamadığı için oran tahminleyicisi kullanmak tahminin duyarlılığını artırmak yerine azaltmıştır.

4

Elde edilen eşitsizlikleri birleştirerek genel sıralamayı oluşturun.

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y})

ve

V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

eşitsizlikleri birleştirildiğinde

V(\bar{y}_{lr}) < V(\bar{y}) < V(\bar{y}_R)

elde edilir.

Bütün tahminleyicilerin etkinlikleri tek bir eşitsizlik zincirinde ifade edilmiştir.

Anahtar Kavram

Oran, Regresyon ve BRÖ Tahminleyicilerinin Etkinlik Karşılaştırması

Soru 125Soru →

Bir araştırmada ilgilenilen $Y$ değişkeni ile bu değişkenle ilişkili ve yalnızca pozitif değerler alan bir $X$ yardımcı değişkeni kullanılarak kitle oranı ( $R = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}$ ) tahmin edilmek istenmektedir. İadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n$ birimlik örneklemden oran tahminleyicisi ( $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ ) hesaplanacaktır. Kitleye ait varyasyon katsayıları $C_x$ ve $C_y$ , değişkenler arası korelasyon katsayısı ise $\rho$ 'dur.

Oran tahminleyicisinin varyans, hata karesi ortalaması (HKO) ve yanlılık (bias) özellikleri dikkate alındığında;

I. Kitle düzeyinde $\rho = \frac{C_x}{C_y}$ eşitliğinin sağlanması durumunda, oran tahminleyicisinin birinci mertebeden Taylor serisi yaklaşımıyla elde edilen yanlılığı sıfır olur.
II. $\hat{R}$ tahminleyicisinin yanlılığı ile $\hat{R}$ istatistiği ve $\bar{x}$ örneklem ortalaması arasındaki kovaryans ( $\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})$ ) değeri daima zıt işaretlidir.
III. Oran tahminleyicisi ( $\hat{R}$ ), örneklem hacmi ne olursa olsun daima yansız bir tahminleyici olduğundan, Hata Karesi Ortalaması (HKO) ile varyansı teorik olarak birbirine eşittir.

ifadelerinden hangisi veya hangileri kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II numaralı ifadeleri içeren seçenek doğrudur.

Oran tahminleyicisinin birinci mertebeden Taylor serisi yaklaşımıyla elde edilen yanlılık formülü

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n} R (C_x^2 - \rho C_x C_y)

şeklindedir ve

\rho = C_x/C_y

koşulunda parantez içi sıfırlandığı için bu değer sıfıra eşit olur (I numaralı ifade doğrudur). Matematiksel olarak

\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) = E(\hat{R}\bar{x}) - E(\hat{R})E(\bar{x}) = \bar{Y} - E(\hat{R})\bar{X}

eşitliği düzenlendiğinde,

Bias(\hat{R}) = - \frac{\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})}{\bar{X}}

elde edilir; yardımcı değişken pozitif değerler aldığı için

\bar{X} > 0

'dır ve bu iki değer daima zıt işaretli olmak zorundadır (II numaralı ifade doğrudur). Ancak oran tahminleyicisi doğası gereği yanlı bir tahminleyicidir (sadece asimptotik yansızdır); bu nedenle Hata Karesi Ortalaması (HKO), varyansı ile yanlılığın karesinin toplamına eşittir ve HKO teorik olarak varyansa daima eşit olmaz (III numaralı ifade yanlıştır).

Adım Adım Çözüm

1

Oran tahminleyicisinin yanlılığı için birinci mertebeden Taylor serisi yaklaşımı formülünü yazıp incelemek.

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n} R (C_x^2 - \rho C_x C_y)

eşitliği elde edilir.

I. ifadedeki kitle parametreleri (

\rho, C_x, C_y

) koşulunun yanlılık üzerindeki etkisini matematiksel olarak görmek için.

2

Yaklaşım formülünde

\rho = \frac{C_x}{C_y}

koşulunu yerine koymak.

Formüldeki parantez içi ifade

C_x^2 - (\frac{C_x}{C_y}) C_x C_y = C_x^2 - C_x^2 = 0

olur. Dolayısıyla yanlılık yaklaşımı sıfıra eşit çıkar. (I. ifade kesinlikle doğrudur).

Belirtilen koşulun oran tahminleyicisinin yanlılığını sıfırlayıp sıfırlamadığını doğrulamak için.

3

Oran tahminleyicisi

\hat{R}

ile paydadaki

\bar{x}

istatistiği arasındaki kovaryans ilişkisini türetmek.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} \implies \bar{y} = \hat{R}\bar{x}

olur. Her iki tarafın beklenen değeri alınırsa:

E(\bar{y}) = E(\hat{R}\bar{x})

. Kovaryans tanımından

\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) = E(\hat{R}\bar{x}) - E(\hat{R})E(\bar{x})

eşitliği yazılır.

II. ifadede iddia edilen kovaryans ve yanlılık ilişkisinin teorik altyapısını oluşturmak için.

4

Kovaryans formülünü düzenleyerek yanlılık (

Bias(\hat{R}) = E(\hat{R}) - R

) terimini yalnız bırakmak.

\bar{Y} = \text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) + E(\hat{R})\bar{X}

elde edilir. Eşitlik

\bar{X}

'e bölündüğünde

R = \frac{\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})}{\bar{X}} + E(\hat{R})

bulunur. Buradan

Bias(\hat{R}) = E(\hat{R}) - R = -\frac{\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})}{\bar{X}}

sonucu çıkar.

Yanlılık ile kovaryans arasındaki matematiksel ilişkiyi kesin olarak ispatlamak için.

5

Kovaryans-Yanlılık formülündeki işaret ilişkisini ve III. ifadedeki yansızlık durumunu değerlendirmek.

X

değişkeni sadece pozitif değerler aldığından

\bar{X} > 0

'dır. Eşitliğin sağındaki negatif işaret nedeniyle

Bias(\hat{R})

ile

\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})

daima zıt işaretlidir (II. ifade kesinlikle doğrudur). Diğer yandan oran tahminleyicisi genelde yanlıdır, dolayısıyla

HKO(\hat{R}) = Varyans(\hat{R}) + [Bias(\hat{R})]^2

eşitliği gereği HKO ile varyans birbirine eşit olmaz (III. ifade yanlıştır).

II. ve III. ifadelerin nihai doğruluk kararlarını vermek için.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve Yanlılığı (Teorik Özellikleri)

Soru 126Soru →

Bir kamu kurumu, bölgesel işletmelerin ortalama aylık enerji tüketimini ( $y$ ) tahmin etmek için basit rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. İlgilenilen değişkenin kitle varyasyon katsayısı $C_y = 0,50$ olarak hesaplanmıştır. Kurumun elinde çerçevedeki tüm işletmeler için önceden bilinen iki farklı yardımcı değişken ( $x_1$ ve $x_2$ ) mevcuttur. Bu değişkenlere ait popülasyon parametreleri aşağıda verilmiştir:

* $x_1$ değişkeni: Varyasyon katsayısı $C_{x_1} = 0,60$ , ilgilenilen değişkenle korelasyonu $\rho_{yx_1} = 0,55$
* $x_2$ değişkeni: Varyasyon katsayısı $C_{x_2} = 0,40$ , ilgilenilen değişkenle korelasyonu $\rho_{yx_2} = 0,45$

Buna göre, oran ve regresyon tahminleyicilerinin kitle ortalamasının basit rastgele örnekleme tahminleyicisi ( $\bar{y}$ ) ile etkinlik (varyans küçüklüğü) açısından karşılaştırılmasına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

x_1

değişkeni kullanılarak oluşturulan regresyon tahminleyicisi verilen tüm tahminleyiciler arasında en küçük varyansa sahipken, aynı değişkenle oluşturulan oran tahminleyicisi basit rastgele örnekleme ortalamasından daha az etkindir.

Her iki yardımcı değişkenin de ilgilenilen değişkenle korelasyonu pozitif (

\rho > 0

) olduğu için, her iki değişkenle oluşturulacak oran tahminleyicisi de basit rastgele örnekleme ortalamasından daha etkindir.

x_2

değişkeninin varyasyon katsayısı (

C_{x_2}=0,40

) daha küçük olduğundan, bu değişkenle elde edilecek oran tahminleyicisi,

x_1

ile elde edilecek regresyon tahminleyicisinden daha etkindir.

x_1

değişkeninin ilgilenilen değişkenle korelasyonu

0,5

'ten büyük (

\rho_{yx_1} > 0,5

) olduğu için,

x_1

değişkeniyle hesaplanan oran tahminleyicisi basit rastgele örnekleme ortalamasına göre daha etkindir.

Regresyon tahminleyicisinin varyans denklemi, oran tahminleyicisi ile aynı varsayımlara dayandığı için, her iki yardımcı değişken için de oran ve regresyon tahminleyicileri asimptotik olarak eşit varyansa sahiptir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_1$ değişkeni kullanılarak oluşturulan regresyon tahminleyicisi verilen tüm tahminleyiciler arasında en küçük varyansa sahipken, aynı değişkenle oluşturulan oran tahminleyicisi basit rastgele örnekleme ortalamasından daha az etkindir.

Cevap

x_1

değişkeni ile oluşturulan regresyon tahminleyicisinin en etkin olduğu, ancak aynı değişkenle oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeden daha başarısız (daha büyük varyanslı) olduğunu belirten seçenektir.

Tahminleyicilerin asimptotik varyans hesaplamaları yapıldığında; basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasının varyansı

C_y^2 = 0,25

ile orantılıdır.

x_1

değişkeni için oran tahminleyicisinin BRÖ'den etkin olma şartı olan

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

formülü kontrol edildiğinde,

0,55 > \frac{0,60}{2 \cdot 0,50} \implies 0,55 > 0,60

eşitsizliği sağlanmaz. Bu durum

x_1

ile elde edilecek oran tahminleyicisinin BRÖ'den daha büyük varyansa (daha düşük etkinliğe) sahip olduğunu kanıtlar. Öte yandan, regresyon tahminleyicisinin varyans orantısı

1-\rho^2

faktörü ile BRÖ varyansını daima küçültür. Seçeneklerdeki en yüksek mutlak korelasyona sahip olan

x_1

değişkeni (

\rho=0,55

), regresyon tahminleyicisi formülünde varyansı en çok düşüren (yaklaşık %30 indirim) ve tüm tahminleyiciler arasında en küçük varyansı üreten değişkendir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit rastgele örnekleme (BRÖ) ortalamasının referans varyans orantısını belirleme.

V(\bar{y}) \propto C_y^2 = (0,50)^2 = 0,25

referans değeri bulunur.

Diğer tüm tahminleyicilerin varyanslarını ve etkinliklerini bu referans noktasına göre kıyaslamak için gereklidir.

2

x_1

ve

x_2

değişkenleri için oran tahminleyicisinin BRÖ'den daha etkin olma şartını (

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

) kontrol etme.

x_1

için:

0,55 > \frac{0,60}{2 \cdot 0,50} \implies 0,55 > 0,60

(Şart sağlanmaz, BRÖ daha etkindir).

x_2

için:

0,45 > \frac{0,40}{2 \cdot 0,50} \implies 0,45 > 0,40

(Şart sağlanır, Oran tahminleyicisi BRÖ'den daha etkindir).

Oran tahminleyicisinin doğrudan BRÖ varyansını düşürüp düşürmediğini matematiksel sınır değere göre kanıtlamak için yapılır.

3

x_1

ve

x_2

değişkenleri için regresyon tahminleyicisinin asimptotik varyansını (

V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y})(1-\rho^2)

) hesaplama.

x_1

için varyans orantısı:

0,25 \cdot (1 - 0,55^2) = 0,25 \cdot 0,6975 \approx 0,174

.

x_2

için varyans orantısı:

0,25 \cdot (1 - 0,45^2) = 0,25 \cdot 0,7975 \approx 0,199

.

Hangi değişkenin regresyon modelinde toplam varyansı en aza indireceğini net olarak tespit etmek içindir.

4

Hesaplanan tüm etkinlik orantılarını kıyaslayarak en düşük varyansa sahip olanı bulma.

Sıralama (küçükten büyüğe varyans):

x_1

Regresyon (

0,174

) <

x_2

Regresyon (

0,199

) <

x_2

Oran (

0,230

) < BRÖ (

0,250

) <

x_1

Oran (

0,280

).

Soru kökündeki kesinlik bildiren doğru ifadeyi tespit etmek için tüm senaryoların net haritasını çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Oran ve Regresyon Tahminleyicilerinde Varyans ve Etkinlik Şartları

Soru 127Soru →

Bir Sağlık Bakanlığı birimi, ülke genelindeki hastanelerin günlük toplam tıbbi atık miktarını ( $y$ , kg) tahmin etmek amacıyla yatak kapasitesini ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Hastaneler, "Devlet Hastanesi" ve "Özel Hastane" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır.

Kitleye ilişkin tabaka büyüklükleri ( $N_h$ ) ve toplam yatak kapasiteleri ( $X_h$ ) ile seçilen rastgele örnekleme ait ortalamalar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	$N_h$	$X_h$ (Toplam Yatak)	$n_h$	$\bar{x}_h$ (Örneklem Ort.)	$\bar{y}_h$ (Örneklem Ort.)
1 (Devlet)	600	200.000	40	300	1500
2 (Özel)	400	400.000	60	800	2400

Buna göre, tabakalı örneklemede ayrı oran tahminleyicisi (separate ratio estimator) kullanılarak ülke genelindeki hastanelerin günlük toplam tıbbi atık miktarı ( $\hat{Y}_{Rs}$ ) kaç kg olarak tahmin edilir?

1.860.000

2.040.000

2.200.000

2.232.000

2.400.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.200.000

Cevap

Doğru yanıt 2.200.000 değeridir. Ayrı oran tahminleyicisinde her tabaka için oran ayrı ayrı hesaplanır ve tabakanın yardımcı değişken kitle toplamı ile çarpılır.

Tabakalı örneklemede ayrı oran tahminleyicisi ile kitle toplamı hesaplanırken, formül

\hat{Y}_{Rs} = \sum_{h=1}^L (\frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_h}) X_h

şeklindedir. Buna göre işlem yapıldığında

(5 \times 200.000) + (3 \times 400.000) = 1.000.000 + 1.200.000 = 2.200.000

kg sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir tabaka için örneklem oranlarının (

\hat{R}_h

) hesaplanması.

1. Tabaka (Devlet):

\hat{R}_1 = 1500 / 300 = 5

2. Tabaka (Özel):

\hat{R}_2 = 2400 / 800 = 3

Ayrı oran tahminleyicisinde ilk adım, tabakaların kendi içindeki değişkenlik oranını ayrı ayrı belirlemektir.

2

Bulunan tabaka oranlarının, ilgili tabakadaki bilinen kitle yatak kapasitesi (

X_h

) değerleriyle çarpılması.

1. Tabaka Katkısı:

5 \times 200.000 = 1.000.000

2. Tabaka Katkısı:

3 \times 400.000 = 1.200.000

Her tabakanın kitle tahminine olan katkısı, kendi yardımcı değişken kitle toplamı üzerinden ağırlıklandırılır.

3

Tabakalardan elde edilen kitle toplam tahminlerinin birleştirilmesi.

\hat{Y}_{Rs} = 1.000.000 + 1.200.000 = 2.200.000

kg.

Genel kitle toplamı, tabakalardan elde edilen bağımsız tahminlerin toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Ayrı Oran Tahminleyicisi (Separate Ratio Estimator)

Soru 128Soru →

İstatistiksel bir saha araştırmasında, kitleye ait ilgilenilen $Y$ değişkeninin ortalamasını ( $\bar{Y}$ ) daha duyarlı bir şekilde tahmin edebilmek amacıyla oran veya regresyon tahminleyicileri kullanılmak istenmektedir. Bu doğrultuda, kitle ortalaması ( $\bar{X}$ ) halihazırda tam olarak bilinen bir $X$ yardımcı değişkeni analize dâhil edilmiştir.

Buna göre, yardımcı değişken ( $X$ ) kullanımının teorik gerekçesi ve tahminleyiciler üzerindeki etkisi hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

X

ile

Y

değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkinin (korelasyonun) yeterince güçlü olması durumunda,

X

'in bilinen kitle parametresi referans alınarak

\bar{Y}

tahmin edicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme ortalamasının varyansına göre azaltılır.

Modellemedeki asıl hedef

X

yardımcı değişkeninin kitle ortalamasını tahmin etmektir;

Y

değişkeni ise yalnızca bu tahmin sürecinde ortaya çıkabilecek standart hataları dengelemek için kullanılan ikincil bir araçtır.

Yardımcı değişkenin temel işlevi, örneklemden hesaplanan

\bar{X}

istatistiğini doğrudan

\bar{Y}

kitle parametresine eşitlemek ve böylelikle kitledeki gözlemlerin tamamına ulaşılmasını sağlamaktır.

X

yardımcı değişkeninin modele entegre edilmesiyle oluşturulan oran tahminleyicisi, örneklem hacmi ne kadar küçük olursa olsun asimptotik olarak değil, mutlak surette yansız (unbiased) tahminler üretir.

Yardımcı değişken, örneklemin çekildiği örnekleme birimi ile ölçümün yapıldığı gözlem birimi birbirine eşit olmadığında, bu iki birim arasındaki hiyerarşik uyumsuzluğu gidermek için tanımlanan yapısal bir parametredir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ ile $Y$ değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkinin (korelasyonun) yeterince güçlü olması durumunda, $X$ 'in bilinen kitle parametresi referans alınarak $\bar{Y}$ tahmin edicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme ortalamasının varyansına göre azaltılır.

Cevap

Yardımcı değişkenin temel amacı, iki değişken arasındaki yüksek korelasyondan faydalanarak

Y

için elde edilen tahminin varyansını basit rastgele örneklemeye kıyasla düşürmektir.

Oran ve regresyon tahminleyicilerinde yardımcı değişken (

X

) kullanımının asıl teorik gerekçesi, kitle parametresi bilinen

X

ile tahmin edilmek istenen

Y

arasındaki istatistiksel ilişkiyi (korelasyonu) modellemektir. Eğer bu iki değişken arasında güçlü bir doğrusal ilişki varsa,

X

'in bilinen kitle değeri kullanılarak

Y

'nin tahminindeki hata payı daraltılır ve basit rastgele örnekleme ortalamasına kıyasla daha etkin (küçük varyanslı) bir tahmin elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Oran ve regresyon tahminleyicilerinde yer alan

X

(yardımcı) ve

Y

(ilgilenilen) değişkenlerinin rollerini belirle.

Araştırmanın amacı

Y

'nin kitle parametresini tahmin etmektir.

X

'in kitle parametresi ise zaten bilinmektedir.

Değişkenlerin işlevlerini doğru kurgulamak, tahmin edicinin yapısını anlamak için ilk adımdır.

2

Yardımcı değişken kullanımının tahminin kalitesi (varyans/yanlılık) üzerindeki etkisini değerlendir.

Oran ve regresyon tahminleyicileri genellikle yanlıdır ancak

X

ve

Y

arasındaki korelasyon yeterince yüksekse varyansları (örnekleme hataları) basit rastgele örneklemeye göre daha küçüktür.

Tahminleyicilerin matematiksel özellikleri, doğru ifadeyi bulmak için kritik öneme sahiptir.

3

Seçenekleri bu teorik varsayımlar ışığında analiz et.

Yüksek korelasyon durumunda varyansın azalacağını belirten ifade, teorik olarak tamamen doğru olan tek ifadedir.

Diğer ifadelerin tümü, kasten yapılmış kavramsal hatalar veya yanlış varsayımlar içermektedir.

Anahtar Kavram

Yardımcı Değişken Kavramı ve Tahmin Edicinin Etkinliği

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 129Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, bölgesindeki $N = 1000$ ticari işletmenin ortalama günlük su tüketimini ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 200$ işletmelik bir örneklem seçilmiştir.

Araştırmacılar, tahminin duyarlılığını artırmak için işletmelerin bir önceki yıla ait günlük ortalama su tüketim değerlerini yardımcı değişken ( $X$ ) olarak kullanmaya karar vermiş ve örneklemden elde edilen verilerle aşağıdaki istatistikleri hesaplamıştır:

* İlgilenilen değişkenin varyansı: $s_y^2 = 300$
* Yardımcı değişkenin varyansı: $s_x^2 = 400$
* İki değişken arasındaki kovaryans: $s_{xy} = 250$

Araştırmacılar, kitle ortalamasını tahmin etmek için, $k$ sabitinin örneklem seçiminden tamamen bağımsız (a priori) olarak $k = 0,5$ şeklinde belirlendiği fark tahminleyicisini ( $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ ) kullanmıştır.

Buna göre, bu fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ( $\hat{V}(\bar{y}_d)$ ) kaçtır ve bu tahminleyicinin kitle ortalaması için yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Tahmini Varyans: 0,60 ; Yansızlık Durumu: Her zaman yansızdır

Tahmini Varyans: 0,60 ; Yansızlık Durumu: Sadece büyük örneklemlerde yansızdır (asimptotik yansız)

Tahmini Varyans: 0,75 ; Yansızlık Durumu: Her zaman yansızdır

Tahmini Varyans: 0,90 ; Yansızlık Durumu: Her zaman yansızdır

Tahmini Varyans: 1,10 ; Yansızlık Durumu: Her zaman yansızdır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmini Varyans: 0,60 ; Yansızlık Durumu: Her zaman yansızdır

Cevap

Tahmini varyansın 0,60 olarak bulunduğu ve tahminleyicinin her zaman yansız olduğu seçenektir.

Doğru yanıt olan seçenekte hem tahmini varyans doğru hesaplanmış (0,60) hem de k sabitinin örneklemden bağımsız belirlenmesi durumunda tahminleyicinin her örneklem hacminde yansız olduğu (Her zaman yansızdır) teorik gerçeği doğru verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Tahminleyicinin yansızlık durumunu teorik olarak değerlendir.

Tahminleyici her zaman yansızdır.

Fark tahminleyicisinde katsayı (

k

) örneklemden hesaplanmayıp önceden sabit bir değer (

k=0,5

) olarak belirlendiği için, beklenen değer operatörü

E(\bar{y}_d) = E(\bar{y}) + kE(\bar{X} - \bar{x}) = \bar{Y} + k(\bar{X} - \bar{X}) = \bar{Y}

eşitliğini her örneklem hacmi için sağlar.

2

Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) ve örneklem genişliği bileşenini hesapla.

(1 - f) / n = 0,004

İadesiz seçim yapıldığından SKD dikkate alınmalıdır. f = n/N = 200/1000 = 0,2. Çarpan: (1 - 0,2) / 200 = 0,8 / 200 = 0,004 olur.

3

Fark tahminleyicisinin varyans formülünün parantez içi bileşenini (

s_y^2 + k^2 s_x^2 - 2k s_{xy}

) hesapla.

150

Verilenleri yerine koyduğumuzda: 300 + (0,5)^2 * 400 - 2 * 0,5 * 250 = 300 + 100 - 250 = 150 değeri elde edilir.

4

Tahmini varyansı (

\hat{V}(\bar{y}_d)

) bulmak için çarpanları birleştir.

0,004 * 150 = 0,60

Parantez dışındaki (1-f)/n çarpanı ile parantez içinden elde edilen 150 değeri çarpılarak nihai tahmini varyans bulunur.

Anahtar Kavram

Fark Tahminleyicisinin Varyansı ve Yansızlık Özelliği

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 130Soru →

Bir pazar araştırması şirketi, çok geniş bir tüketici kitlesinin aylık gıda harcamaları ortalamasını ( $y$ ) tahmin etmek istemektedir. Harcamalar ile tüketicilerin aylık gelirleri ( $x$ ) arasındaki doğrusal ilişkiden faydalanmak amacıyla regresyon tahminleyicisi kullanılacaktır.

Geçmiş verilere göre, gıda harcamaları ile aylık gelir arasındaki korelasyon katsayısı $\rho = 0,80$ olarak hesaplanmıştır.

Şirket, regresyon tahminleyicisi kullanarak $n = 180$ kişilik bir rastgele örneklem ile belirli bir örnekleme hatasına (varyansa) ulaşmıştır.

Kitle hacminin çok büyük olduğu (sonlu kitle düzeltmesinin ihmal edilebileceği) varsayımı altında, şirket yardımcı değişken kullanmadan yalnızca basit rastgele örnekleme ortalama tahminleyicisi ile aynı tahmin hassasiyetine (aynı varyansa) ulaşmak isteseydi örneklem hacmi kaç olmalıydı?

144

225

300

500

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 500

Cevap

500

Büyük kitlelerde regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

(1-\rho^2)

katı kadardır. Formül olarak

V_{reg} = V_{srs} \times (1-\rho^2)

şeklinde ifade edilir. Araştırmacının aynı varyans değerine (aynı hassasiyete) ulaşması istendiğinden varyansları eşitlediğimizde, basit rastgele örnekleme için gereken örneklem hacmi

n_{srs} = \frac{n_{reg}}{1-\rho^2}

olarak bulunur. Verilen değerler formülde yerine konduğunda

n_{srs} = \frac{180}{1 - 0,80^2} = \frac{180}{1 - 0,64} = \frac{180}{0,36} = 500

elde edilir. Bu sonuç, aralarındaki yüksek korelasyondan dolayı yardımcı değişken kullanmanın örneklem hacminden ne kadar büyük bir tasarruf sağladığını göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon tahminleyicisinin varyans formülünü yazmak

Sonlu kitle düzeltmesi (SKD) ihmal edildiğinde regresyon tahminleyicisinin varyansı:

V(\bar{y}_{lr}) = \frac{S_y^2}{n_{lr}} (1-\rho^2)

olarak yazılır.

Yardımcı değişken kullanıldığında örnekleme varyansının korelasyon katsayısına bağlı olarak nasıl azaldığını matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Basit rastgele örneklemede ortalama tahminleyicisinin varyansını yazmak

SKD ihmal edildiğinde basit rastgele örnekleme varyansı:

V(\bar{y}_{srs}) = \frac{S_y^2}{n_{srs}}

şeklindedir.

Karşılaştırma yapılacak diğer tahminleyicinin temel varyans yapısını belirlemek için.

3

İki varyansı birbirine eşitleyerek denklemi kurmak

V(\bar{y}_{lr}) = V(\bar{y}_{srs})

eşitliğinden

\frac{S_y^2}{180} (1 - 0,80^2) = \frac{S_y^2}{n_{srs}}

denklemi elde edilir.

Soru metninde istenen 'aynı tahmin hassasiyetine (aynı varyansa) ulaşma' koşulunu matematiksel olarak sağlamak için.

4

Eşitliği çözerek

n_{srs}

değerini bulmak

S_y^2

'ler sadeleşir.

\frac{1 - 0,64}{180} = \frac{1}{n_{srs}} \Rightarrow \frac{0,36}{180} = \frac{1}{n_{srs}}

. Buradan

n_{srs} = \frac{180}{0,36} = 500

bulunur.

Aynı varyans düzeyini elde etmek için basit rastgele örneklemede ulaşılması gereken minimum örneklem hacmini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Regresyon Tahminleyicisinin Etkinliği ve Varyans Karşılaştırması

Alternatif Yöntem

Tasarım etkisi (Design Effect - deff) kavramı üzerinden de düşünülebilir. Regresyon tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre tasarım etkisi

deff = 1 - \rho^2

olarak kabul edilirse, efektif örneklem hacmi ilişkisi

n_{reg} = n_{srs} \times deff

şeklindedir. Buradan

180 = n_{srs} \times (1 - 0,64)

yazılarak doğrudan

n_{srs} = 500

sonucuna ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 131Soru →

Bölgesel bir kalkınma ajansında görevli bir istatistikçi, faaliyet gösteren işletmelerin yıllık ortalama yenilikçilik (inovasyon) harcamalarını ( $y$ ) tahmin etmek için, bu işletmelerin yıllık brüt satış hasılatlarını ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanmayı planlamaktadır. İstatistikçi, kitle ortalamasını tahmin ederken oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), basit rastgele örnekleme altındaki klasik aritmetik ortalama tahminleyicisinden ( $\bar{y}$ ) asimptotik olarak daha etkin (daha küçük varyanslı) olmasını garanti altına almak istemektedir.

Yapılan geçmiş çalışmalardan, yardımcı değişkenin kitle değişim katsayısının ( $C_x$ ), ilgilenilen değişkenin kitle değişim katsayısına ( $C_y$ ) oranının $k$ (yani $k = \frac{C_x}{C_y}$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, istatistikçinin oran tahminleyicisini tercih ederek kesin bir varyans avantajı elde edebilmesi için, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki kitle korelasyon katsayısının ( $\rho$ ) hangi teorik alt sınırı aşması gerekir?
(Varsayım: Her iki değişkenin de değerleri pozitiftir ve örneklem hacmi yeterince büyüktür.)

\rho > 2k

\rho > \frac{1}{2k}

\rho > \frac{k}{2}

\rho > \frac{2}{k}

\rho > k

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\rho > \frac{k}{2}$

Cevap

\rho > \frac{k}{2}

eşitsizliğini veren seçenektir.

Oran tahminleyicisinin varyansının, basit ortalama tahminleyicisinin varyansından küçük olması için sağlanması gereken asimptotik koşul

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

eşitsizliğidir. Soruda verilen

k = \frac{C_x}{C_y}

eşitliği bu koşulda yerine konulduğunda, korelasyon katsayısının aşması gereken teorik alt sınır

\frac{k}{2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit ortalama tahminleyicisinin asimptotik varyansını formüle et.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

Kıyaslama yapabilmek için referans tahminleyicinin varyansına ihtiyaç vardır.

2

Oran tahminleyicisinin asimptotik varyansını formüle et.

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_x C_y)

Etkinlik koşulunu bulmak için oran tahminleyicisinin varyans denklemi gereklidir.

3

Oran tahminleyicisinin daha etkin (varyansının daha küçük) olması koşulunu eşitsizlik olarak yaz ve sadeleştir.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) \implies C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_x C_y < C_y^2 \implies C_x^2 < 2\rho C_x C_y

İki tahminleyicinin varyansları birbirine eşitsizlik ile bağlanarak

\rho

için sınır bulunur.

4

Eşitsizlikte her iki tarafı

2C_x C_y

ifadesine bölerek

\rho

'yu yalnız bırak.

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

Korelasyon katsayısının sağlaması gereken temel teorik alt sınırı elde etmek içindir.

5

Soruda verilen

k = \frac{C_x}{C_y}

eşitliğini temel koşul formülünde yerine koy.

\rho > \frac{1}{2} \left(\frac{C_x}{C_y}\right) \implies \rho > \frac{k}{2}

Soruda istenen formattaki kesin etkinlik koşuluna ulaşmak içindir.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Etkinlik Koşulu

Soru 132Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı, geniş bir coğrafi bölgedeki seralarda üretilen yıllık toplam domates rekoltesini ( $Y$ ) tahmin etmek için bir saha araştırması planlamaktadır. Bütçe kısıtları nedeniyle popülasyonun tamamı sayılamayacak olup küçük bir örneklem seçilecektir. Ancak tahminin duyarlılığını (etkinliğini) artırmak amacıyla her bir seranın taban alanı ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanılıp oran tahminleyicisi (ratio estimator) oluşturulacaktır.

Bu araştırmada yardımcı değişkenin kullanım amacı, gerektirdiği koşullar ve kitle parametreleri ile örneklem istatistikleri arasındaki ilişki dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Tahmin sürecinde ilgilenilen değişkenin kitle ortalaması (

\bar{Y}

) önceden bilindiğinden, örneklemden hesaplanan

\bar{x}

ve

\bar{y}

istatistikleri kullanılarak yardımcı değişkenin kitle parametresindeki (

\bar{X}

) belirsizlik giderilir ve böylece tahmin varyansı minimize edilir.

Yardımcı değişken (

X

) kullanımının temel işlevi, seraların seçildiği örnekleme birimi ile rekoltenin fiilen ölçüldüğü gözlem birimi arasındaki kavramsal farklılıktan kaynaklanan örnekleme dışı hataları istatistiksel olarak telafi etmektir.

Oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre varyans düşürücü (etkin) bir sonuç vermesi için

X

ile

Y

arasında yüksek pozitif bir korelasyon bulunması ve

X

değişkenine ait kitle toplamının (veya ortalamasının) araştırmacı tarafından kesin olarak bilinmesi zorunludur.

İki değişken arasındaki korelasyon katsayısının büyüklüğü ne olursa olsun, hesaplamaya bilinen bir kitle parametresi (

\bar{X}

) dahil edildiği için oran tahminleyicisi basit rastgele örneklemeye göre daima daha düşük varyanslı (etkin) bir tahmin üretir.

Tasarım aşamasında

Y

değişkeninin kitle varyansı (

\sigma_y^2

) halihazırda hesaplanabildiği için, yardımcı değişkenin kitle değerlerine (

\bar{X}

) başvurulmaksızın, yalnızca örneklemden elde edilecek varyans istatistiği (

s_x^2

) ile oran tahmini yapılabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre varyans düşürücü (etkin) bir sonuç vermesi için $X$ ile $Y$ arasında yüksek pozitif bir korelasyon bulunması ve $X$ değişkenine ait kitle toplamının (veya ortalamasının) araştırmacı tarafından kesin olarak bilinmesi zorunludur.

Cevap

Doğru cevap, oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre etkin olabilmesi için X ile Y arasında yüksek pozitif korelasyon olması ve X'in kitle parametresinin bilinmesi gerektiğini belirten ifadedir.

Oran tahminleyicisinin varlık amacı, tahmin varyansını düşürmektir. Bunun başarılabilmesi, yardımcı değişken (

X

) ile ilgilenilen değişken (

Y

) arasında orijinden geçen kuvvetli ve pozitif bir doğrusal ilişkinin varlığına sıkı sıkıya bağlıdır. Ayrıca bu tekniğin uygulanabilmesi için yardımcı değişkene ait kitle değerinin (toplam veya ortalama) örneklem seçilmeden önce resmi kayıtlar gibi güvenilir kaynaklardan kesin olarak bilinmesi matematiksel bir ön koşuldur.

Adım Adım Çözüm

1

Yardımcı değişken (

X

) kullanımının temel amacını tanımlamak.

Temel amaç, basit rastgele örneklemeye kıyasla tahmin edicinin varyansını (standart hatasını) düşürerek tahminin duyarlılığını ve etkinliğini artırmaktır.

Popülasyon hakkında önceden bilinen bilgilerin sürece dahil edilmesi istatistiksel çıkarımın kalitesini yükseltir.

2

Kitle parametreleri ile örneklem istatistiklerinin rollerini ayırt etmek.

Oran tahmininde, yardımcı değişkenin kitle ortalaması (

\bar{X}

) veya toplamı (

X_{toplam}

) kesin olarak bilinmelidir. İlgilenilen değişkenin kitle parametresi (

\bar{Y}

) ise örneklemden elde edilen

\bar{y}

ve

\bar{x}

istatistikleri kullanılarak tahmin edilir.

Yardımcı değişken ile ilgilenilen değişkenin tahmin sürecindeki rolleri birbirine karıştırılmamalıdır.

3

Oran tahminleyicisinin etkinlik koşullarını (varyans düşüşünü) değerlendirmek.

Yardımcı değişkenin kullanılması tek başına varyans düşüşünü garanti etmez. Etkinlik artışı için

X

ile

Y

arasında yüksek pozitif doğrusal bir ilişki (korelasyon) bulunması matematiksel bir zorunluluktur.

Eğer korelasyon zayıfsa, modelin varyansı basit rastgele örnekleme varyansından daha büyük çıkabilir ve etkinlik kaybı yaşanır.

Anahtar Kavram

Oran Tahmininde Yardımcı Değişkenin Rolü ve Etkinlik Koşulları

Soru 133Soru →

Bir lojistik firması, dağıtım araçlarının aylık bakım masraflarını ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla, araçların o ay içinde yaptıkları toplam kilometre ( $x$ ) bilgisini yardımcı değişken olarak kullanmayı planlamaktadır.

Yapılan pilot çalışmada, kilometre değişkenine ait değişim katsayısının ( $C_x$ ), bakım masraflarına ait değişim katsayısının ( $C_y$ ) %40'ı olduğu ( $C_x = 0,4 C_y$ ) saptanmıştır. Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin ederken basit rastgele örnekleme ortalaması yerine oran tahminleyicisini (ratio estimator) kullanmanın varyansı düşüreceğini ve tahminleme sürecini daha etkin kılacağını öne sürmektedir.

Buna göre, oran tahminleyicisinin basit rastgele örnekleme ortalamasına göre daha etkin olabilmesi için sağlanması gereken genel teorik koşul ve bu araştırmada korelasyon katsayısının ( $\rho$ ) aşması gereken minimum değer aşağıdakilerden hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Genel koşul

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı

0,20

'den büyük olmalıdır.

Genel koşul

\rho > \frac{2C_x}{C_y}

formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı

0,80

'den büyük olmalıdır.

Genel koşul

\rho > \frac{C_x}{C_y}

formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı

0,40

'tan büyük olmalıdır.

Genel koşul

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı

1,25

'ten büyük olmalıdır.

Tahminleyicilerin etkinliği korelasyon katsayısına değil, yalnızca iadesiz seçimdeki sonlu kitle düzeltme çarpanına (SKD) bağlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Genel koşul $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$ formülü ile ifade edilir ve korelasyon katsayısı $0,20$ 'den büyük olmalıdır.

Cevap

Oran tahminleyicisinin daha etkin olmasının teorik koşulu

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

formülüyle ifade edilir ve bu soruda sınır değer

0,20

olmalıdır.

Oran tahminleyicisinin basit rastgele örnekleme ortalamasından daha etkin olabilmesi (daha küçük varyansa sahip olması) için

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde teorik olarak

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulu elde edilir. Soru metninde

C_x = 0,4 C_y

ilişkisi verilmiştir. Bu değer eşitsizlikte yerine yazıldığında;

\rho > \frac{0,4 C_y}{2 C_y} = \frac{0,4}{2} = 0,20

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla, korelasyon katsayısı

0,20

'den büyük olduğunda oran tahminleyicisi daha avantajlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Oran tahminleyicisinin (

\bar{y}_R

) varyansının basit rastgele örnekleme ortalamasının (

\bar{y}

) varyansından küçük olma eşitsizliğini yazmak.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) \implies S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y < S_y^2

Etkinlik, aynı örneklem hacmi için daha düşük varyansa sahip olmak demektir.

2

Eşitsizliği sadeleştirerek

\rho

(korelasyon katsayısı) için genel koşulu türetmek.

R^2 S_x^2 < 2R \rho S_x S_y \implies \rho > \frac{R S_x}{2 S_y} \implies \rho > \frac{(\bar{Y}/\bar{X}) S_x}{2 S_y} \implies \rho > \frac{S_x / \bar{X}}{2(S_y / \bar{Y})} \implies \rho > \frac{C_x}{2C_y}

Değişim katsayıları

C_x = S_x/\bar{X}

ve

C_y = S_y/\bar{Y}

kullanılarak eşitsizlik standart forma getirilir.

3

Soruda verilen

C_x = 0,4 C_y

eşitliğini türetilen formülde yerine koymak.

\rho > \frac{0,4 C_y}{2 C_y}

Sorudaki spesifik pilot çalışma verilerini genel koşula uygulamak.

4

Matematiksel işlemi tamamlayarak minimum sınır değerini hesaplamak.

\rho > \frac{0,4}{2} \implies \rho > 0,20

Korelasyon katsayısının aşması gereken nihai sayısal sınırı bulmak.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin etkinliği, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyonun (

\rho

) belirli bir kritik değeri (

\frac{C_x}{2C_y}

) aşmasına bağlıdır.

Soru 134Soru →

Bir enerji dağıtım şirketi, hizmet bölgesindeki $N = 2500$ üretim tesisinin cari yıl günlük ortalama elektrik tüketimini ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ hacimli bir örneklem seçmiştir. Tesislerin bir önceki yıla ait günlük ortalama tüketim değerleri ( $x$ ) yardımcı değişken olarak alınmış olup, bu değişkene ait kitle ortalaması ( $\bar{X}$ ) bilinmektedir.

Örneklemden elde edilen istatistikler şöyledir:
- İlgilenilen değişkenin varyansı: $s_y^2 = 500$
- Yardımcı değişkenin varyansı: $s_x^2 = 400$
- İlgilenilen ve yardımcı değişken arasındaki kovaryans: $s_{xy} = 350$

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için önceden belirlenmiş sabit bir $k = 1$ katsayısı kullanarak fark tahminleyicisi ( $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ ) oluşturmuştur.

Buna göre, oluşturulan bu fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ( $\hat{V}(\bar{y}_d)$ ) kaçtır ve tahminleyicinin yansızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahmini Varyans:

15,36

; Her örneklem hacminde yansızdır.

Tahmini Varyans:

2,00

; Her örneklem hacminde yansızdır.

Tahmini Varyans:

1,92

; Her örneklem hacminde yansızdır.

Tahmini Varyans:

4,80

; Yalnızca büyük örneklemlerde yansızdır.

Tahmini Varyans:

1,92

; Yalnızca büyük örneklemlerde yansızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmini Varyans: $1,92$ ; Her örneklem hacminde yansızdır.

Cevap

Fark tahminleyicisinin tahmini varyansı 1,92'dir ve katsayısı sabit olduğu için her örneklem hacminde kesin yansız bir tahminleyicidir.

Verilen bilgiler ışığında fark tahminleyicisinin varyansı SKD çarpanı da dahil edilerek hesaplandığında

(0,96 / 100) \cdot [500 + 400 - 2(350)] = 1,92

bulunur. Ayrıca,

k = 1

dışsal ve sabit bir katsayı olduğu için fark tahminleyicisinin beklenen değeri kitle ortalamasına daima eşittir; dolayısıyla her örneklem hacminde yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) değerini hesaplayın.

1 - f = 1 - (n / N) = 1 - (100 / 2500) = 1 - 0,04 = 0,96

İadesiz seçim yapıldığı ve kitle büyüklüğü verildiği için varyans hesaplamasında SKD kullanılmalıdır.

2

Fark tahminleyicisinin varyans formülünün ana bileşenini hesaplayın.

s_y^2 + k^2 s_x^2 - 2k s_{xy} = 500 + (1^2 \cdot 400) - 2(1)(350) = 900 - 700 = 200

Varyans hesabı, her iki değişkenin varyansları ve kovaryansları ile belirlenen

k

sabitine bağlıdır.

3

Tahmini varyans değerini elde edin.

\hat{V}(\bar{y}_d) = \frac{1-f}{n} \cdot 200 = \frac{0,96}{100} \cdot 200 = 0,0096 \cdot 200 = 1,92

Örneklem hacmi ve SKD bileşenleri ana denklem sonucuna uygulanarak nihai varyans bulunur.

4

Tahminleyicinin yansızlık durumunu teorik olarak değerlendirin.

Tahminleyici her örneklem hacminde yansızdır.

Fark tahminleyicisinde yer alan

k

katsayısı, örneklem istatistiklerinden elde edilmeyen (dışsal/sabit) bir sayı olduğunda, beklenen değer operatörü

E(\bar{y}_d)

doğrudan

\bar{Y}

'ye eşit olur. Oran ve regresyon tahminleyicilerinin aksine kesin yansızdır.

Anahtar Kavram

Fark Tahminleyicisinin Varyansı ve Kesin Yansızlık Özelliği

Soru 135Soru →

Orman Genel Müdürlüğü, iki farklı orman tipinden (Çam ve Meşe) oluşan bir bölgedeki toplam ağaç hacmini ( $y$ , $m^3$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmış ve ağaçların göğüs yüksekliği çaplarından elde edilen taban alanları ( $x$ , $m^2$ ) yardımcı değişken olarak alınmıştır. Tabakalara ilişkin kitle ve örneklem bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	$N_h$	$n_h$	$\bar{y}_h$	$\bar{x}_h$	$X_h$
Çam	$100$	$10$	$40$	$20$	$2.500$
Meşe	$100$	$20$	$120$	$30$	$3.500$

Buna göre, kitle toplamı için ayrı oran tahminleyicisi (separate ratio estimator) kullanılarak elde edilen tahmin değeri kaçtır ve ayrı oran tahminleyicisinin birleşik oran tahminleyicisine (combined ratio estimator) tercih edilebilmesi için yanlılık (bias) açısından sağlanması gereken temel örneklem hacmi koşulu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

19.200

/ Her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) yeterince büyük olması

19.000

/ Tabaka içi örneklem hacimlerinin (

n_h

) küçük, ancak toplam örneklem hacminin (

n

) büyük olması

19.000

/ Her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) yeterince büyük olması

19.200

/ Tabaka içi örneklem hacimlerinin (

n_h

) küçük, ancak toplam örneklem hacminin (

n

) büyük olması

18.000

/ Her bir tabakadaki örneklem kesrinin (

n_h/N_h

) eşit olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $19.000$ / Her bir tabakadaki örneklem hacminin ( $n_h$ ) yeterince büyük olması

Cevap

Doğru yanıt, ayrı oran tahminleyicisi değerini

19.000

olarak ve tercih koşulunu 'Her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) yeterince büyük olması' şeklinde veren seçenektir.

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabaka için oranların ayrı ayrı hesaplanıp tabaka yardımcı değişken toplamı ile çarpılmasıyla elde edilir:

\hat{Y}_{Rs} = (40/20)\times 2.500 + (120/30)\times 3.500 = 19.000

. Oran tahminleyicisi asimptotik olarak yansız olduğundan, ayrı oran tahminleyicisinde yanlılıkların birikmemesi için birleşik orana kıyasla her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) yeterince büyük olması şartı aranır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir tabaka için tabaka içi oranların (

\hat{R}_h

) hesaplanması.

Çam tabakası için

\hat{R}_1 = 40 / 20 = 2

. Meşe tabakası için

\hat{R}_2 = 120 / 30 = 4

.

Ayrı oran tahminleyicisinde kitle geneli yerine her bir tabakanın oranı ayrı ayrı elde edilir.

2

Ayrı oran tahminleyicisi (

\hat{Y}_{Rs}

) formülü kullanılarak kitle toplamının hesaplanması.

\hat{Y}_{Rs} = \hat{R}_1 X_1 + \hat{R}_2 X_2 = (2 \times 2.500) + (4 \times 3.500) = 5.000 + 14.000 = 19.000

.

Her tabakanın hesaplanan oranı, o tabakaya ait yardımcı değişkenin kitle toplamı (

X_h

) ile çarpılarak kitle toplamı bulunur.

3

Ayrı oran tahminleyicisinin tercih edilme koşulunun belirlenmesi.

Koşul: 'Her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) yeterince büyük olması'dır.

Oran tahminleyicisi küçük örneklemlerde yanlıdır (biased). Ayrı oran tahminleyicisinde her tabakadan gelen yanlılıklar toplandığı için, bu yanlılığın büyümesini engellemek adına tabaka içi örneklem hacimlerinin ayrı ayrı büyük olması gerekir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Ayrı Oran Tahminleyicisi ve Yanlılık Koşulu

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 136Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, sınırları içerisindeki $N = 250$ mahallede üretilen yıllık toplam katı atık miktarını ve mahalle başına düşen ortalama katı atık miktarını tahmin etmek amacıyla nüfus büyüklüğünü yardımcı değişken olarak kullanacaktır. Belediyeye bağlı tüm mahallelerin toplam nüfusu $\tau_X = 500.000$ kişidir.

Basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 40$ mahallede yapılan çalışmada, örnekleme giren mahallelerin toplam nüfusu $50.000$ kişi, bu mahallelerde üretilen yıllık toplam katı atık miktarı ise $40.000$ ton olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan mahalle başına düşen kitle ortalama katı atık miktarı ve kitle toplam katı atık miktarı tahminleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

1.600

ve

400.000

1.000

ve

250.000

2.500

ve

625.000

1.600

ve

64.000

1.344

ve

336.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1.600$ ve $400.000$

Cevap

Mahalle başına düşen kitle ortalama katı atık miktarı

1.600

ton ve kitle toplam katı atık miktarı

400.000

tondur.

Oran tahminleyicisinde ilk adım olarak örneklemdeki oran hesaplanır:

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{40.000}{50.000} = 0,8

. Daha sonra kitle ortalaması tahmini için bu oran, yardımcı değişkenin kitle ortalamasıyla çarpılır. Kitle ortalama nüfusu

\bar{X} = \frac{500.000}{250} = 2.000

'dir. Böylece kitle ortalaması tahmini

\hat{\bar{Y}}_R = \hat{R} \times \bar{X} = 0,8 \times 2.000 = 1.600

ton olarak bulunur. Kitle toplamı tahmini ise oranın yardımcı değişkenin kitle toplamıyla çarpılmasıyla elde edilir:

\hat{\tau}_{YR} = \hat{R} \times \tau_X = 0,8 \times 500.000 = 400.000

ton. Doğru eşleşme

1.600

ve

400.000

değerleridir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki katı atık miktarı toplamını (

\sum y_i

) örneklemdeki nüfus toplamına (

\sum x_i

) bölerek örneklem oranını (

\hat{R}

) hesaplayın.

\hat{R} = \frac{40.000}{50.000} = 0,8

Oran tahminleyicisinde kitle oranını (R) tahmin etmek için örneklem verilerinden elde edilen oran kullanılır.

2

Kitle nüfus ortalamasını (

\bar{X}

) bulmak için toplam kitle nüfusunu (

\tau_X

) mahalle sayısına (

N

) bölün.

\bar{X} = \frac{500.000}{250} = 2.000

Oran tahminleyicisi ile kitle ortalaması tahmini yapabilmek için yardımcı değişkenin (nüfus) kitle ortalamasına ihtiyaç vardır.

3

Kitle ortalama katı atık miktarını (

\hat{\bar{Y}}_R

) bulmak için tahmin edilen oranı (

\hat{R}

) kitle nüfus ortalaması (

\bar{X}

) ile çarpın.

\hat{\bar{Y}}_R = 0,8 \times 2.000 = 1.600 \text{ ton}

Oran tahminleyicisinde kitle ortalaması tahmini, tahmin edilen oranın yardımcı değişkenin kitle ortalamasıyla çarpılması formülüyle (

\hat{\bar{Y}}_R = \hat{R} \bar{X}

) bulunur.

4

Kitle toplam katı atık miktarını (

\hat{\tau}_{YR}

) bulmak için tahmin edilen oranı (

\hat{R}

) kitle toplam nüfusu (

\tau_X

) ile çarpın.

\hat{\tau}_{YR} = 0,8 \times 500.000 = 400.000 \text{ ton}

Kitle toplamı tahmini, tahmin edilen oranın yardımcı değişkenin kitle toplamıyla doğrudan çarpılması formülüyle (

\hat{\tau}_{YR} = \hat{R} \tau_X

) elde edilir.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisi ile Ortalama ve Toplam Tahmini

Soru 137Soru →

Bir sosyal güvenlik kurumu, ülke genelindeki işletmelerin "yıllık iş sağlığı ve güvenliği harcamaları" toplamını ( $Y$ ) oran tahminleyicisi kullanarak tahmin etmek üzere bir saha araştırması planlamaktadır. Bu amaçla, kurumsal veritabanında tüm kitle için parametre değeri (toplamı) kesin olarak bilinen "yıllık prim ödenen gün sayısı" değişkeni, yardımcı değişken ( $X$ ) olarak modele dahil edilecektir.

Araştırma ekibi, örneklemden elde edilecek ilgilenilen değişken ( $y$ ) istatistiği ile kitleye ait yardımcı değişken ( $X$ ) parametresi arasındaki ilişkiyi kullanarak tahmin sürecinin örnekleme varyansını düşürmeyi hedeflemektedir.

Buna göre, oran veya regresyon tahminleyicilerinde yardımcı değişken ( $X$ ) kullanımının temel amacı ve tahminleyicinin varyansını düşürerek etkinliği artırabilmesi için sağlanması gereken teorik koşul aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Temel amaç, kitle parametresi bilinen yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki yüksek doğrusal korelasyondan faydalanarak tahminleyicinin varyansını düşürmek ve istatistiksel olarak daha etkin bir tahmin elde etmektir.

Temel amaç, örneklem seçiminin yapıldığı örnekleme birimi ile verinin fiilen derlendiği gözlem birimi arasındaki uyumsuzluğu gidermektir; korelasyon düzeyi düşük olsa bile bu uyumsuzluk giderildiğinde varyans azalır.

Modeldeki asıl hedef, kitledeki yardımcı değişkenin (

X

) toplam parametresini tahmin etmektir; ilgilenilen değişken (

Y

) ise hesaplamalarda sadece bir düzeltici faktör olarak kullanılarak hata payı minimize edilir.

Temel amaç, sadece örneklemden elde edilen

x

ve

y

istatistikleri arasındaki ilişkiyi kullanarak varyansı düşürmektir; bu nedenle yardımcı değişkenin kitleye ait parametre değerinin önceden bilinmesine gerek yoktur.

Temel amaç, saha uygulaması sırasında ortaya çıkabilecek eksik cevap veya ölçüm gibi örnekleme dışı hataları engellemektir; değişkenler arası korelasyonun varlığı örnekleme varyansı üzerinde doğrudan bir etki yaratmaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Temel amaç, kitle parametresi bilinen yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki yüksek doğrusal korelasyondan faydalanarak tahminleyicinin varyansını düşürmek ve istatistiksel olarak daha etkin bir tahmin elde etmektir.

Cevap

Oran ve regresyon tahminleyicilerinde yardımcı değişken kullanımının temel amacı, kitle parametresi bilinen yardımcı değişken (

X

) ile ilgilenilen değişken (

Y

) arasındaki yüksek korelasyondan yararlanarak örnekleme varyansını düşürmek ve etkinliği artırmaktır.

Oran ve regresyon tahminleyicilerinde yardımcı değişken (

X

) kullanımının asıl felsefesi, ilgilenilen değişken (

Y

) ile arasındaki yüksek doğrusal ilişkiden (korelasyondan) yararlanarak daha dar bir güven aralığı ve basit rastgele örneklemeye kıyasla daha küçük bir varyans (daha yüksek etkinlik) elde etmektir. Bunun için

X

'in kitle parametresinin kesin olarak bilinmesi zorunludur.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma hedefini ve değişken rollerini belirleme

Araştırmada

Y

(iş sağlığı ve güvenliği harcamaları) tahmin edilmek istenen asıl ilgilenilen değişkendir;

X

(prim gün sayısı) ise kitle parametresi bilinen yardımcı değişkendir.

Hangi değişkenin parametresinin arandığını ve hangi değişkenin varyans düşürücü araç olarak kullanıldığını ayırt etmek.

2

Varyans düşüşü sağlayan teorik koşulun değerlendirilmesi

Etkinlik artışının ve varyans düşüşünün temel koşulunun,

X

ile

Y

değişkenleri arasında güçlü bir doğrusal ilişki (korelasyon) bulunması olduğu tespit edilir.

Yardımcı değişkenin etkinliği doğrudan değişkenler arası korelasyona bağlıdır; korelasyon yetersizse tahmin edicinin varyansı Basit Rastgele Örnekleme varyansından büyük olabilir.

Anahtar Kavram

Yardımcı Değişken Kavramı ve Etkinlik Koşulu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 138Soru →

Bir orman bölge müdürlüğü, sorumluluk alanındaki $N = 1000$ adet orman parselinin yıllık toplam karbon yutak kapasitesini tahmin etmek istemektedir. Parsellerin toplam yüzölçümü $X = 24.000$ hektar olarak bilinmektedir. Basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 50$ parselde yapılan inceleme sonucunda, bu parsellerin toplam yüzölçümü $x = 1.000$ hektar ve yıllık toplam karbon yutak kapasitesi $y = 3.500$ ton olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan parsel başına düşen ortalama karbon yutak kapasitesi ve kitle toplam karbon yutak kapasitesi tahminleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

84

ve

84.000

70

ve

70.000

84

ve

84

79,8

ve

79.800

3,5

ve

84.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $84$ ve $84.000$

Cevap

Oran tahminleyicisi kullanıldığında parsel başına düşen ortalama kapasite

84

ton ve kitle toplam kapasitesi

84.000

tondur.

Doğru seçenekte verilen değerler oran tahminleyicisi formülleri kullanılarak elde edilmiştir. Oran katsayısı (

r

), örneklemdeki toplam karbon kapasitesinin örneklem alanına bölünmesiyle (

r = 3500 / 1000 = 3,5

ton/hektar) bulunur. Kitle toplamı tahmini, bu oranın kitle toplam alanıyla çarpılmasıyla (

24.000 \times 3,5 = 84.000

ton) elde edilir. Parsel başına ortalama kapasite ise hesaplanan kitle toplamının toplam parsel sayısına bölünmesiyle (

84.000 / 1000 = 84

ton/parsel) hatasız olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Oran tahminleyicisi katsayısının (

r

) hesaplanması

r = \frac{y}{x} = \frac{3.500}{1.000} = 3,5

ton/hektar

Oran tahmininde kitle tahminlerini bulabilmek için öncelikle örneklemdeki ilgilenilen değişken toplamının (karbon), yardımcı değişken toplamına (alan) oranı bulunmalıdır.

2

Kitle toplam karbon yutak kapasitesinin (

\hat{Y}_R

) tahmin edilmesi

\hat{Y}_R = r \times X = 3,5 \times 24.000 = 84.000

ton

Bulunan oran katsayısı (

r

), yardımcı değişkenin bilinen kitle toplamı (

X

) ile çarpılarak kitle toplamı tahminine ulaşılır.

3

Parsel başına düşen ortalama kapasitenin (

\hat{\bar{Y}}_R

) tahmin edilmesi

\hat{\bar{Y}}_R = \frac{\hat{Y}_R}{N} = \frac{84.000}{1.000} = 84

ton/parsel

Kitle toplam tahmini, kitledeki toplam gözlem birimi (parsel) sayısına (

N

) bölünerek parsel başına ortalama tahmin edilir.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinde yardımcı değişkenin kitle bilgisini (

X

) kullanarak örneklemden elde edilen oran (

r

) üzerinden kitle toplamı ve ortalamasının hesaplanması.

Soru 139Soru →

Bir tarım kooperatifi, bünyesinde bulunan $N = 1000$ üreticinin bu yılki ortalama ayçiçeği rekoltesini ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla basit rastgele iadesiz örnekleme yöntemiyle $n = 100$ üretici seçmiştir. Üreticilerin bir önceki yıla ait rekolte değerleri ( $x$ ) tam olarak bilinmektedir ve yardımcı değişken olarak kullanılacaktır.

Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki gibidir:
- $s_y^2 = 250$ (Bu yılki rekoltenin örneklem varyansı)
- $s_x^2 = 200$ (Geçen yılki rekoltenin örneklem varyansı)
- $s_{xy} = 175$ (İki yılın rekoltesi arasındaki örneklem kovaryansı)

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için sabit bir $c=1$ katsayısı alınarak oluşturulan $\bar{y}_d = \bar{y} + c(\bar{X} - \bar{x})$ formülüne sahip fark tahminleyicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ( $\hat{V}(\bar{y}_d)$ ) kaçtır ve bu tahminleyicinin yansızlık özelliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahmini varyans:

0,90

; Yansız bir tahminleyicidir.

Tahmini varyans:

0,90

; Yanlı bir tahminleyicidir (yalnızca asimptotik olarak yansızdır).

Tahmini varyans:

1,00

; Yansız bir tahminleyicidir.

Tahmini varyans:

4,05

; Yansız bir tahminleyicidir.

Tahmini varyans:

7,20

; Yanlı bir tahminleyicidir (yalnızca asimptotik olarak yansızdır).

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmini varyans: $0,90$ ; Yansız bir tahminleyicidir.

Cevap

Fark tahminleyicisinin tahmini varyansı 0,90 olarak hesaplanır ve bu tahminleyici kitle ortalaması için yansız bir tahminleyicidir.

Fark tahminleyicisi formülü

\bar{y}_d = \bar{y} + c(\bar{X} - \bar{x})

yapısında olup buradaki

c

katsayısı sabit bir değerdir. Beklenen değeri alındığında

E(\bar{y}_d) = E(\bar{y}) + c(E(\bar{X}) - E(\bar{x})) = \bar{Y} + c(\bar{X} - \bar{X}) = \bar{Y}

elde edilir, dolayısıyla her koşulda tam yansızdır. Varyans ise

\frac{1-f}{n}(s_y^2 + c^2 s_x^2 - 2c s_{xy})

formülüyle hesaplanır. Çarpan

(1 - 0.1)/100 = 0.009

, parantez içi ise

250 + 200 - 350 = 100

olduğundan sonuç

0,90

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit katsayılı fark tahminleyicisinin tahmini varyans formülünü belirleme

\hat{V}(\bar{y}_d) = \frac{1-f}{n}(s_y^2 + c^2 s_x^2 - 2c s_{xy})

formülü kullanılır.

Yardımcı değişken bilgisiyle oluşturulan ve katsayısı sabit olan tahminleyicinin varyansını hesaplayabilmek için.

2

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) ve formülün katsayısını hesaplama

f = \frac{n}{N} = \frac{100}{1000} = 0,10 \implies 1-f = 0,90

. Formülün katsayısı:

\frac{1-f}{n} = \frac{0,90}{100} = 0,009

bulunur.

Örnekleme iadesiz olarak yapıldığından ve

n/N > 0.05

olduğundan SKD dikkate alınmalıdır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak varyansı hesaplama

Parantez içi:

250 + (1)^2 \cdot 200 - 2 \cdot 1 \cdot 175 = 450 - 350 = 100

. Tahmini varyans:

0,009 \times 100 = 0,90

olarak elde edilir.

İki değişkenin varyansları ve kovaryansı kullanılarak fark tahminleyicisinin yayılımı bulunur.

4

Tahminleyicinin yansızlık özelliğini teorik olarak değerlendirme

Tahminleyici yansızdır sonucuna varılır.

Oran ve regresyon tahminleyicilerinin aksine, fark tahminleyicisinde kullanılan

c

katsayısı rastgele bir değişken değil, önceden belirlenmiş sabit bir değerdir. Bu nedenle

E(\bar{y}_d) = \bar{Y}

eşitliği her örneklem büyüklüğü için tam olarak sağlanır.

Anahtar Kavram

Fark tahminleyicisinin sabit bir katsayı altında her zaman yansız olması ve varyansının hesaplanması

Soru 140Soru →

Bir tarım kooperatifi, üyelerine ait tarlalardaki yıllık buğday rekoltesini ( $y$ , ton) tahmin etmek amacıyla ekili alan büyüklüğünü ( $x$ , dekar) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Kooperatif, arazileri "Sulu" ve "Kurak" olmak üzere iki tabakaya ayırarak tabakalı rastgele örnekleme uygulamıştır. Örnekleme sonucunda elde edilen veriler aşağıda verilmiştir:

Tabaka	$N_h$	$n_h$	$\bar{y}_h$	$\bar{x}_h$	$X_h$
1 (Sulu)	400	50	30	50	24.200
2 (Kurak)	600	30	10	40	22.000

(Not: $X_h$ değerleri ilgili tabakadaki bilinen toplam ekili alanı, $\bar{y}_h$ örneklemdeki ortalama buğday rekoltesini, $\bar{x}_h$ ise örneklemdeki ortalama ekili alanı göstermektedir.)

Bu bilgilere göre, kitledeki genel buğday rekoltesi ( $Y$ ) için birleşik oran tahminleyicisi ( $\hat{Y}_{Rc}$ ) kullanılarak hesaplanan tahmin değeri kaç tondur?

18.000

18.900

19.635

20.020

22.500

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18.900

Cevap

18.900

Birleşik oran tahminleyicisi (

\hat{Y}_{Rc}

), tabakalı kitle toplamı tahminlerinin oranının (

\hat{Y}_{st} / \hat{X}_{st}

), bilinen genel kitle toplamı (

X

) ile çarpılmasıyla elde edilir. Verilen tabloya göre

y

değişkeni için tabakalı toplam tahmin

\hat{Y}_{st} = (400 \times 30) + (600 \times 10) = 18.000

'dir.

x

değişkeni için tabakalı toplam tahmin

\hat{X}_{st} = (400 \times 50) + (600 \times 40) = 44.000

'dir. Buradan birleşik oran katsayısı

\hat{R}_c = 18.000 / 44.000 = 9 / 22

olarak bulunur. Bilinen genel kitle toplamı

X = 24.200 + 22.000 = 46.200

dekar olduğundan,

\hat{Y}_{Rc} = (9 / 22) \times 46.200 = 18.900

ton olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalar için kitle toplamı tahminlerinin (

\hat{Y}_{st}

ve

\hat{X}_{st}

) hesaplanması.

\hat{Y}_{st} = 400 \times 30 + 600 \times 10 = 18.000

\hat{X}_{st} = 400 \times 50 + 600 \times 40 = 44.000

Birleşik oran tahminleyicisinde pay ve payda kısımları için değişkenlerin tabakalı yansız toplam tahminlerine ihtiyaç vardır.

2

Birleşik oran katsayısının (

\hat{R}_c

) bulunması.

\hat{R}_c = \hat{Y}_{st} / \hat{X}_{st} = 18.000 / 44.000 = 9 / 22

Tabakalı kitle toplamı tahminleri oranlanarak kitle için genel ve ortak bir katsayı elde edilir.

3

Genel kitle toplamı tahmini için oran katsayısının bilinen

X

değeriyle çarpılması.

X = 24.200 + 22.000 = 46.200

\hat{Y}_{Rc} = (9 / 22) \times 46.200 = 18.900

Birleşik oran tahminleyicisi ile kitle toplamı bulma formülü

\hat{Y}_{Rc} = \hat{R}_c \times X

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Birleşik Oran Tahminleyicisi (Combined Ratio Estimator)

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm