Dairesel Sistematik Örnekleme Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir araştırmacı, $N=22$ birimden oluşan bir kitle içerisinden dairesel sistematik örnekleme yöntemiyle $n=5$ birimlik bir örneklem seçmek istemektedir. Örnekleme aralığı $k=4$ olarak belirlenmiş ve rastgele başlangıç sayısı $R=18$ olarak seçilmiştir. Buna göre, örneklem için seçilecek birimlerin numaraları aşağıdakilerin hangisinde tam ve doğru olarak verilmiştir?

18, 22, 4, 8, 12

18, 1, 6, 11, 16

18, 0, 4, 8, 12

18, 22, 26, 30, 34

18, 19, 20, 21, 22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18, 22, 4, 8, 12

Cevap

Örnekleme seçilecek birimler 18, 22, 4, 8 ve 12 numaralı birimlerdir.

Dairesel sistematik örneklemede birimler

u_j = [R + (j-1)k] \pmod N

formülü ile belirlenir (mod 0 durumunda

N

alınır). Bu soruda

R=18

ve

k=4

değerleri kullanılarak sırasıyla 18, 22, (26 mod 22 =) 4, 8 ve 12 birimleri elde edilir. Bu dizilim yöntemin hem dairesel yapısını hem de sabit aralık kuralını tam olarak yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametreleri ve ilk birimi belirleyin.

N=22

,

n=5

,

k=4

,

R=18

. İlk birim

u_1 = 18

.

Sistematik örneklemede ilk birim rastgele başlangıç sayısı olarak seçilir.

2

İkinci birimi hesaplayın.

u_2 = R + k = 18 + 4 = 22

.

İkinci birim, ilk birime örnekleme aralığı eklenerek bulunur.

22 \leq N

olduğu için mod işlemine gerek yoktur.

3

Üçüncü birimi dairesel mantıkla hesaplayın.

u_3 = (22 + 4) = 26

. Kitle hacmi aşıldığı için

26 \pmod{22} = 4

.

Dairesel sistematik örneklemede toplam değer

N

'i aştığında,

N

değerine göre mod alınarak kitle başına dönülür.

4

Dördüncü ve beşinci birimleri hesaplayın.

u_4 = 4 + 4 = 8

ve

u_5 = 8 + 4 = 12

.

Kaldığımız yerden örnekleme aralığı eklemeye devam ederek istenen örneklem hacmine (

n=5

) ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairesel Sistematik Örnekleme Seçim Kuralı

İpuçları

1

Dairesel örneklemede birim numaraları kitle hacmini (

N

) geçtiğinde başa dönerek saymaya devam etmelisiniz.

2

R=18

ve

k=4

olduğuna göre ikinci birim 22'dir. Üçüncü birimi bulmak için

22+4=26

sonucunu kitle hacmine göre değerlendirin.

3

Herhangi bir adımda sonuç

N=22

değerini aşarsa, bu değerden 22 çıkararak veya mod alarak yeni birim numarasını bulun. Örneğin:

26 - 22 = 4

.

Daha Fazla Pratik

Eğer

N

,

n

'in tam katı olsaydı (örneğin

N=20, n=5, k=4

), dairesel ve doğrusal sistematik örnekleme sonuçları arasında bir fark olup olmayacağını düşününüz.

Alternatif Yöntem

Birimleri bir daire üzerinde dizilmiş gibi hayal edin. 18'den başlayıp saat yönünde 4'er birim atlayarak 5 durağa uğradığınızda hangi numaralarda durduğunuzu sayarak da bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan $N=17$ personel arasından, belirli bir eğitim programına katılacak $n=5$ kişilik bir grup dairesel sistematik örnekleme yöntemiyle seçilecektir. Örnekleme aralığı $k=3$ ve rastgele başlangıç sayısı $R=13$ olarak belirlendiğine göre, örnekleme seçilecek personelin sıra numaraları aşağıdakilerden hangisidir?

13, 16, 2, 5, 8

13, 16, 19, 22, 25

13, 17, 4, 8, 12

13, 16, 3, 6, 9

13, 16, 1, 4, 7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13, 16, 2, 5, 8

Cevap

Seçilen birimlerin indisleri 13, 16, 2, 5, 8 şeklindedir.

Doğru yanıt olan dizilimde, 13 ile başlanmış ve her adımda 3 eklenerek ilerlenmiştir. 16'dan sonraki adımda 19 sayısına ulaşıldığında, kitle hacmi olan 17 çıkarılarak dairesel yapı gereği 2. birime dönülmüş, ardından 5 ve 8 numaralı birimlerle süreç tamamlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerini belirleme

R = 13

Sistematik örneklemede ilk birim rastgele başlangıç sayısı olarak seçilir.

2

İkinci birimi hesaplama

13 + 3 = 16

Bir sonraki birim, mevcut indise örnekleme aralığı (

k

) eklenerek bulunur.

3

Üçüncü birimi hesaplama ve dairesel dönüşü uygulama

16 + 3 = 19 \rightarrow 19 - 17 = 2

Hesaplanan indis (

19

), kitle hacmi olan

N=17

değerinden büyük olduğu için dairesel kural gereği

N

çıkarılır.

4

Dördüncü ve beşinci birimleri hesaplama

2 + 3 = 5

ve

5 + 3 = 8

Aralık ekleme işlemine istenilen örneklem hacmine (

n=5

) ulaşana kadar devam edilir.

Anahtar Kavram

Dairesel Sistematik Örnekleme

Soru 3Soru →

Bir kamu arşivinde bulunan $N=13$ dosya sırası arasından dairesel sistematik örnekleme yöntemiyle $n=3$ dosya seçilerek incelenecektir. Örnekleme aralığı $k=4$ olarak belirlenmiş ve rastgele başlangıç sayısı $R=9$ olarak seçilmiştir.

Buna göre, örnekleme dahil edilecek dosyaların sıra numaraları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

9, 13, 4

9, 1, 5

9, 13, 17

9, 1, 6

9, 12, 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9, 13, 4

Cevap

Örnekleme dahil edilecek dosyaların sıra numaraları 9, 13 ve 4 şeklindedir.

Dairesel sistematik örnekleme kurallarına göre,

N=13

birimlik bir kitlede

R=9

başlangıcından itibaren

k=4

eklenerek ilerlendiğinde; ilk birim 9, ikinci birim

9+4=13

ve üçüncü birim

13+4=17 \rightarrow 17-13=4

olarak bulunur. Bu süreç, kitle birimlerinin sonuna gelindiğinde seçim işleminin dairesel olarak kitle başına dönmesini sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç birimini belirle

9

Soruda rastgele başlangıç sayısı

R=9

olarak verilmiştir.

2

İkinci birimi hesapla

13

Birinci birime örnekleme aralığı (

k=4

) eklenir:

9+4=13

. Bu değer kitle hacmi

N=13

'e eşit veya küçük olduğu için doğrudan alınır.

3

Üçüncü birimi hesapla

4

İkinci birime aralık eklenir:

13+4=17

. Değer

N=13

'ü aştığı için dairesel döngü kuralı gereği

17-13=4

işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Dairesel sistematik örneklemede kitle birimleri bir çember üzerinde dizilmiş gibi düşünülür ve seçim kitle hacmini (

N

) aşınca başa dönülür.

Soru 4Soru →

Bir tarımsal kalkınma kooperatifine kayıtlı $N=19$ yerel üretici arasından, ürün kalite kontrolü amacıyla dairesel sistematik örnekleme yöntemi kullanılarak $n=4$ üretici seçilecektir. Örnekleme aralığı ( $k$ ), kitle büyüklüğünün örneklem hacmine oranının ( $N/n$ ) en yakın tam sayıya yuvarlanmasıyla hesaplanmıştır. Rastgele başlangıç sayısı $R=14$ olarak belirlendiğine göre, örnekleme dahil edilecek üreticilerin kayıt numaraları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

14, 19, 5, 10

14, 18, 3, 7

14, 0, 5, 10

15, 1, 6, 11

14, 19, 4, 9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14, 19, 5, 10

Cevap

Örnekleme dahil edilecek üretici numaraları 14, 19, 5 ve 10'dur.

Dairesel sistematik örnekleme prosedürüne göre,

k=5

olarak belirlendikten sonra

R=14

başlangıç noktasından itibaren birimler

14, (14+5)=19, (19+5) \pmod{19}=5

ve

(5+5)=10

şeklinde sıralanır. Bu dizi, hem dairesel geçişi hem de doğru aralık kullanımını yansıtır.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme aralığının (k) hesaplanması

k = 19 / 4 = 4,75 \approx 5

Dairesel sistematik örneklemede aralık, N/n oranının en yakın tam sayıya yuvarlanmasıyla belirlenir.

2

Birinci ve ikinci birimlerin belirlenmesi

1. Birim:

14

, 2. Birim:

14 + 5 = 19

İlk birim rastgele başlangıç sayısıdır, ikinci birim ise başlangıca k aralığının eklenmesiyle bulunur.

3

Üçüncü birimin dairesel yöntemle belirlenmesi

3. Birim:

(19 + 5) - 19 = 5

Toplam kitle büyüklüğünü (19) aştığı için dairesel olarak başa dönülür (

24 \pmod{19} = 5

).

4

Dördüncü birimin belirlenmesi

4. Birim:

5 + 5 = 10

Bir önceki birime örnekleme aralığı (k) eklenerek devam edilir.

Anahtar Kavram

Dairesel sistematik örneklemede, kitle büyüklüğü örneklem hacminin tam katı olmadığında (

N \neq nk

), birimler dairesel bir liste gibi düşünülerek örneklem çekilir ve her birime seçilme şansı verilir.

Daha Fazla Pratik

Dairesel sistematik örneklemenin doğrusal sistematik örneklemeye göre en büyük avantajının,

N

değerinin

n

değerine tam bölünmediği durumlarda her bir birime eşit seçilme şansı vermesi olduğunu hatırlayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir ilçe sağlık müdürlüğü, bölgesinde bulunan ve alfabetik olarak listelenmiş $N=23$ eczaneyi denetlemek amacıyla dairesel sistematik örnekleme yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Müdürlük, bu eczaneler arasından $n=5$ adet eczane seçecektir. Örnekleme aralığı $k=4$ ve rastgele başlangıç sayısı $R=19$ olarak belirlendiğine göre, örnekleme seçilecek dördüncü eczanenin sıra numarası aşağıdakilerden hangisidir?

4

8

11

12

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Dairesel sistematik örnekleme yöntemine göre seçilen dördüncü eczanenin sıra numarası 8'dir.

Dairesel sistematik örneklemede

i

. birimin sıra numarası

[R + (i-1)k]

formülüyle hesaplanır ve sonuç

N

'den büyükse kitle hacmi (

N

) çıkarılarak dairesel yapı korunur.

19 + (4-1) \times 4 = 31

değeri bulunur.

31 > 23

olduğu için

31 - 23 = 8

sonucuna ulaşılır. Bu da 8 numaralı eczanenin dördüncü birim olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerlerin ve istenen birim sırasının belirlenmesi

N=23

,

n=5

,

k=4

,

R=19

ve istenen birim

i=4

.

Hesaplama için temel parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

Dairesel seçim kuralının uygulanması

i=1 \rightarrow 19

,

i=2 \rightarrow 19+4=23

,

i=3 \rightarrow 23+4=27

Her birim bir önceki birime

k

aralığı eklenerek bulunur.

3

Kitle hacmi aşıldığında dairesel düzeltmenin yapılması

27 - 23 = 4

. Üçüncü birim 4'tür.

Dairesel örneklemede birim numarası

N

değerini aşarsa, değerden

N

çıkarılarak başa dönülür.

4

Dördüncü birimin hesaplanması

4 + 4 = 8

.

Üçüncü birime aralık değeri (

k=4

) eklenerek hedeflenen dördüncü birime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairesel Sistematik Örnekleme

Soru 6Soru →

Bir belediye fen işleri müdürlüğü, bir bulvar üzerinde yer alan ve $1$ ’den $14$ ’e kadar ardışık numaralandırılmış $N=14$ adet akıllı aydınlatma direğini denetleyecektir. Bu denetim için dairesel sistematik örnekleme yöntemiyle $n=4$ adet direk seçilmesine karar verilmiştir. Örnekleme aralığı $k=3$ ve rastgele başlangıç sayısı $R=12$ olarak belirlendiğine göre; örnekleme seçilecek aydınlatma direklerinin numaraları aşağıdakilerden hangisidir?

1, 4, 7, 12

2, 6, 10, 12

12, 15, 18, 21

1, 4, 7, 10

12, 1, 5, 9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1, 4, 7, 12$

Cevap

Örnekleme seçilecek direklerin numaraları

1, 4, 7

ve

12

şeklindedir.

Verilen

R=12

başlangıcından sonra

k=3

eklendiğinde

15

elde edilir; kitle

14

birim olduğu için dairesel olarak

15-14=1

birimine geçilir. Takip eden birimler

1+3=4

ve

4+3=7

olarak belirlenir. Bu durumda

\{1, 4, 7, 12\}

kümesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk örnekleme birimini belirlemek

12

Sistematik örneklemede ilk birim, verilen rastgele başlangıç sayısı (

R

) olan

12

numaralı direktir.

2

İkinci örnekleme birimini dairesel mantıkla hesaplamak

1

İkinci birim

R + k = 12 + 3 = 15

olur. Kitle hacmi

N=14

olduğundan,

15 > 14

ise

15 - 14 = 1

numaralı direk seçilir.

3

Üçüncü örnekleme birimini hesaplamak

4

Bir önceki birime aralık eklenir:

1 + 3 = 4

numaralı direk seçilir.

4

Dördüncü örnekleme birimini hesaplamak

7

Bir önceki birime aralık eklenir:

4 + 3 = 7

numaralı direk seçilir.

Anahtar Kavram

Dairesel sistematik örnekleme, kitle hacminin örneklem hacminin tam katı olmadığı durumlarda, kitleyi bir çember gibi düşünerek istenen örneklem hacmine ulaşmayı sağlar.

Soru 7Soru →

Bir kalite kontrol mühendisi, seri numaraları $1$ ’den $11$ ’e kadar ardışık olarak numaralandırılmış $N=11$ adet ürün arasından dairesel sistematik örnekleme yöntemiyle $n=3$ adet ürün seçecektir. Örnekleme aralığı $k=4$ ve rastgele başlangıç sayısı $r=9$ olarak belirlendiğine göre, örnekleme dahil edilecek ürünlerin seri numaraları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

2, 6, 9

9, 13, 17

9, 1, 4

1, 5, 9

9, 2, 5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2, 6, 9$

Cevap

Örnekleme seçilecek ürünlerin seri numaraları

2, 6

ve

9

şeklindedir.

Dairesel sistematik örnekleme kurallarına göre,

N=11

birimlik bir kitlede

r=9

başlangıç noktası ve

k=4

aralık ile seçim yapıldığında: İlk birim

9

, ikinci birim

9+4=13

(ancak

13 > 11

olduğu için

13-11=2

), üçüncü birim ise

2+4=6

olur. Bu durumda örneklem

\{2, 6, 9\}

birimlerinden oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk birimin belirlenmesi

r = 9

Sistematik örneklemede ilk birim rastgele başlangıç sayısı olarak verilen

r

değeridir.

2

İkinci birimin hesaplanması

(9 + 4) = 13 \rightarrow 13 - 11 = 2

İkinci birim

r+k

formülüyle bulunur. Sonuç kitle hacmi

N=11

'i aştığı için dairesel yöntem gereği

N

çıkarılarak başa dönülür.

3

Üçüncü birimin hesaplanması

2 + 4 = 6

Bir önceki birim numarasına örnekleme aralığı (

k=4

) eklenerek devam edilir.

Anahtar Kavram

Dairesel sistematik örneklemede birim seçimi, kitle hacmi aşıldığında modüler aritmetik mantığıyla (başa dönerek) yapılır.

Daha Fazla Pratik

Farklı

k

değerleri için dairesel örneklemin tam

n

hacmine ulaşıp ulaşmadığını kontrol ediniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir orman mühendisi, koruma altındaki bir bölgede bulunan ve $1$ 'den $41$ 'e kadar ardışık olarak numaralandırılmış $N=41$ adet anıt ağaç arasından, ağaçların sağlık durumlarını detaylı olarak incelemek üzere $n=6$ hacminde bir örneklem seçecektir.

Mühendis, bu seçim işlemi için dairesel sistematik örnekleme yöntemini kullanmaya karar vermiş ve örnekleme aralığını ( $k$ ), $N/n$ oranına en yakın tam sayı olarak belirlemiştir.

Rastgele seçilen başlangıç sayısı $R=13$ olduğuna göre, bu örnekleme girecek son iki ağacın numaraları aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

37

ve

2

41

ve

48

41

ve

7

0

ve

7

34

ve

41

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $41$ ve $7$

Cevap

Örnekleme girecek son iki ağacın numaraları

41

ve

7

'dir.

Dairesel sistematik örneklemede örnekleme aralığı

k

,

N/n = 41/6 = 6,83

değerine en yakın tam sayı olan

7

olarak hesaplanır. Seçime

R=13

başlangıç noktasıyla başlanır ve ardışık olarak her adıma

k=7

eklenerek

n=6

elemanlık örneklem oluşturulur:

13, 20, 27, 34, 41

. Altıncı elemanı bulmak için yapılan

41+7=48

işlemi kitle büyüklüğü olan

N=41

'i aştığı için dairesel kural gereği

48-41=7

değeri elde edilir. Böylece örnekleme giren son iki ağaç (

5.

ve

6.

ağaç) sırasıyla

41

ve

7

numaralı ağaçlar olur.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme aralığının (

k

) hesaplanması.

k = 41 / 6 = 6,83

olup, bu değer en yakın tam sayıya yuvarlandığında örnekleme aralığı

k = 7

olarak bulunur.

Dairesel sistematik örneklemede k aralığı genel kural olarak

N/n

değerine en yakın tam sayı olarak seçilir.

2

Örnekleme girecek ilk elemanın belirlenmesi.

Rastgele seçilen başlangıç sayısı

R = 13

olduğundan, örnekleme giren

1.

ağaç

13

numaralı ağaçtır.

Sistematik örneklemede diziye her zaman rastgele seçilen

R

değeri ile başlanır.

3

Örneklemdeki diğer elemanların dairesel kurala göre bulunması.

Örnekleme sırasıyla

13+7=20

,

20+7=27

,

27+7=34

ve

34+7=41

numaralı ağaçlar seçilir. Altıncı ağaç için

41+7=48

değeri bulunur. Kitle büyüklüğü (

N=41

) aşıldığı için

48-41=7

numaralı ağaç seçilir.

Dairesel sistematik örneklemede ulaşılan değer kitle büyüklüğünü (

N

) aşarsa, bu değerden

N

çıkarılarak listeye başa dönülür.

4

Son iki ağacın tespit edilmesi.

Seçilen örneklemdeki

6

ağaç sırasıyla

\{13, 20, 27, 34, 41, 7\}

numaralı ağaçlardır. Örneklemin son iki elemanı (

5.

ve

6.

elemanlar)

41

ve

7

'dir.

Soruda oluşturulan

n=6

hacmindeki örneklemin son iki elemanının numaraları istenmiştir.

Anahtar Kavram

Dairesel Sistematik Örneklemede Eleman Seçimi ve Modül İşlemi

Alternatif Yöntem

Son iki elemanı formül yardımıyla doğrudan bulmak mümkündür:

n.

eleman dairesel kurala göre

(R + (n-1)k)

'nın modüler hesabıyla elde edilir. 5. eleman:

(13 + 4 \times 7) = 41

(tam N'e ulaşıldığı için 41 olarak kalır). 6. eleman:

(13 + 5 \times 7) = 48 \rightarrow 48 - 41 = 7

numaralı ağaç.

Tahmini Süre:1m 30s

Dairesel Sistematik Örnekleme

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem