Dik koordinat düzleminde, y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(a, a^2) noktasından çizilen te… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $y = x^2$ parabolü üzerindeki bir $P(a, a^2)$ noktasından çizilen teğet doğrusunun $y$ -eksenini kestiği nokta $T$ , normal doğrusunun $y$ -eksenini kestiği nokta ise $N$ olarak adlandırılıyor.

$P$ noktası koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer almaktadır.

$T$ ve $N$ noktaları arasındaki uzaklık $\frac{17}{2}$ birim olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Parabol üzerindeki birinci bölgede bulunan noktanın apsisi 2'dir.

Doğru cevap 2'dir.

y = x^2

parabolünün türevi

y' = 2x

olduğundan teğet eğimi

2a

, normal eğimi ise

-\frac{1}{2a}

olur. Bu doğruların denkleminden

y

-kesenleri sırasıyla

T(0, -a^2)

N(0, a^2 + \frac{1}{2})

bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık

2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4

elde edilir. Birinci bölgede

a > 0

olduğu için

a = 2

olur.

Adım Adım Çözüm

Parabolün türevini alarak teğet doğrusunun eğimini belirleyiniz.

y' = 2x \implies m_t = 2a

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

Teğet doğrusunun denklemini yazıp

y

-eksenini kestiği

T

noktasının koordinatlarını bulunuz.

y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2 \implies T(0, -a^2)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Doğrunun

y

-eksenini kestiği noktayı bulmak için

x = 0

yazılır.

Normal doğrusunun eğimini ve denklemini bulup

y

-eksenini kestiği

N

noktasının koordinatlarını hesaplayınız.

m_n = -\frac{1}{2a} \implies y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies N\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)

Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı

-1

'dir. Buradan normal doğrusunun eğimi bulunarak denklem yazılır ve

x = 0

için

y

-keseni belirlenir.

T

N

noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi kurarak

a

değerini bulunuz.

|y_N - y_T| = 2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = 2

y

-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir.

P

noktası birinci bölgede yer aldığından

a > 0

olmalıdır, bu yüzden pozitif kök seçilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu yardımıyla teğet ve normal doğrularının denklemlerinin yazılması ve bu doğruların eksenleri kestiği noktaların bulunması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru