Dik koordinat düzleminde, f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}\neğrisinin x = 2 apsisli noktasınd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}

eğrisinin

x = 2

apsisli noktasındaki normal doğrusu,

2y - x + 4 = 0

doğrusuna diktir.

Buna göre, $a$ kaçtır?

a değeri -1/2'dir.

Verilen doğrunun eğimi

1/2

olduğundan, bu doğruya dik olan normal doğrusunun eğimi

-2

olur. Teğet doğrusu ile normal doğrusu da birbirine dik olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan türev değeri

f'(2) = 1/2

olmalıdır. Bölüm kuralı yardımıyla alınan türevde

x=2

yazıldığında elde edilen

-a

ifadesi bu eğime eşitlenerek

a = -1/2

bulunur.

Verilen doğrunun eğimini bulma

m = \frac{1}{2}

2y - x + 4 = 0 \implies 2y = x - 4 \implies y = \frac{1}{2}x - 2

şeklinde düzenlenerek doğrunun eğimi bulunur.

Normal doğrusunun eğimini belirleme

m_n = -2

Normal doğrusu verilen doğruya dik olduğundan, eğimleri çarpımı

-1

olmalıdır (

m_n \cdot \frac{1}{2} = -1 \implies m_n = -2

Türev değeri ile normal eğimi ilişkisini kurma

f'(2) = \frac{1}{2}

x=2

noktasındaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan, eğimleri çarpımı

-1

olur (

f'(2) \cdot m_n = -1 \implies f'(2) \cdot (-2) = -1 \implies f'(2) = \frac{1}{2}

f(x)

fonksiyonunun türevini alıp

x=2

yazarak

a

'yı çözme

a = -\frac{1}{2}

Bölümün türevi kuralı uygulanır:

f'(x) = \frac{(2x+a)(x-1) - (x^2+ax) \cdot 1}{(x-1)^2}

x=2

yazıldığında

f'(2) = \frac{(4+a)(1) - (4+2a)}{1^2} = 4+a-4-2a = -a

elde edilir. Buradan

-a = \frac{1}{2} \implies a = -\frac{1}{2}

bulunur.

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi

m_n

ve teğet doğrusunun eğimi

m_t = f'(x_0)

olmak üzere, bu doğrular dik kesiştiği için

m_t \cdot m_n = -1

bağıntısı geçerlidir. Ayrıca birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir.

Soru