Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 1Soru →
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçek sayı olmak üzere
f(x)=x3−3x2−6x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + k
eğrisinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğru, bu eğriye x=ax = a (a>0a > 0) apsisli noktasında teğet olan doğruya paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olduğundan, paralel teğet doğrusunun eğimi de f′(a)=−6f'(a) = -6 olmalıdır. Bu denklemin çözülmesiyle a>0a > 0 koşulunu sağlayan değer 22 olarak elde edilir.
Eğrinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olarak bulunur. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan f′(a)f'(a) değeri de −6-6'ya eşitlenir. Buradan elde edilen pozitif kök aranan sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem elde edilir.
f′(x)=3x2−6x−6=0  ⟹  x2−2x−2=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun.
Yerel ekstremum noktalarında fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatlarını veren ifadeler, derece azaltma yöntemiyle birinci dereceden terimler cinsinden yazılır.
x2=2x+2x^2 = 2x + 2 eşitliği kullanılarak f(x)=−6x+k−2f(x) = -6x + k - 2 bulunur. Dolayısıyla ekstremum noktaları A(x1,−6x1+k−2)A(x_1, -6x_1 + k - 2) ve B(x2,−6x2+k−2)B(x_2, -6x_2 + k - 2) olur.
İki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplamak için ordinat değerlerini sadeleştirmek gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi (m1m_1) hesaplanır.
m1=(−6x2+k−2)−(−6x1+k−2)x2−x1=−6m_1 = \frac{(-6x_2 + k - 2) - (-6x_1 + k - 2)}{x_2 - x_1} = -6 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.
4
Eğriye x=ax = a apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi (m2m_2) bu eğime eşitlenerek aa değeri çözülür.
f′(a)=−6  ⟹  3a2−6a−6=−6  ⟹  3a(a−2)=0f'(a) = -6 \implies 3a^2 - 6a - 6 = -6 \implies 3a(a-2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan a=0a = 0 veya a=2a = 2 bulunur. a>0a > 0 şartından dolayı a=2a = 2'dir.
Paralel doğruların eğimleri eşittir ve teğet doğrusunun eğimi türeve eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğiminin türev yardımıyla bulunması.
Soru 2Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2}
eğrisine üzerindeki x=3x = 3 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

Eğriye üzerindeki x=3x = 3 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi 15\frac{1}{5}'tir.
Doğru yanıt olan 15\frac{1}{5} değeri, eğrinin x=3x = 3 noktasındaki türevinin (teğet eğimi olan −5-5) negatif tersi alınarak elde edilir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini bulun.
f′(x)=1⋅(x−2)−1⋅(x+3)(x−2)2=−5(x−2)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - 1 \cdot (x+3)}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2}
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) bulun.
mt=f′(3)=−5(3−2)2=−5m_t = f'(3) = \frac{-5}{(3-2)^2} = -5
Teğet doğrusunun eğimi, x=3x = 3 noktasındaki türev değeridir.
3
Teğet doğrusu ile normal doğrusunun dik kesişme özelliğini (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) kullanarak normal doğrusunun eğimini (mnm_n) hesaplayın.
−5⋅mn=−1⇒mn=15-5 \cdot m_n = -1 \Rightarrow m_n = \frac{1}{5}
Bir eğriye üzerindeki aynı noktadan çizilen teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimi ile diklik ilişkisi (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) kullanılarak bulunur.
Soru 3Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonu için g(x)=f(x)⋅∣f(x)∣g(x) = f(x) \cdot |f(x)| şeklinde tanımlanan gg fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde her noktada türevlenebilir olduğu iddiası doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen iddia doğrudur.
Verilen iddia doğrudur çünkü f(x)f(x) fonksiyonunun türevlenebilir olması, g(x)=f(x)∣f(x)∣g(x) = f(x)|f(x)| fonksiyonunun f(x0)=0f(x_0)=0 olan kritik noktalarda da türevinin limit tanımıyla incelendiğinde türevlenebilir olduğunu ve bu türevin değerinin sıfır olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu durumları inceleyin.
f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 olan bir x0x_0 noktası için ff sürekli olduğundan, bu noktanın komşuluğunda f(x)f(x) işaret değiştirmez. Eğer f(x)>0f(x) > 0 ise komşulukta g(x)=f(x)2g(x) = f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)'tir. Eğer f(x)<0f(x) < 0 ise komşulukta g(x)=−f(x)2g(x) = -f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=−2f(x)f′(x)g'(x) = -2f(x)f'(x)'tir. Her iki durumda da türev mevcuttur.
Sıfırdan farklı noktalarda mutlak değerin dışarıya nasıl çıkacağı belirlenerek türevlenebilirlik doğrudan gösterilir.
2
Fonksiyonun sıfır olduğu durumları türevin tanımı yardımıyla inceleyin.
f(x0)=0f(x_0) = 0 olan bir x0x_0 noktası için g(x0)=0g(x_0) = 0 olur. Türevin tanımından: g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0f(x)∣f(x)∣−0x−x0=lim⁡x→x0(f(x)−f(x0)x−x0⋅∣f(x)∣)g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)|f(x)| - 0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot |f(x)| \right) yazılır.
Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda doğrudan limit tanımını kullanmak en güvenilir yöntemdir.
3
Limit ifadesinin sonucunu hesaplayın.
lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) (türevli olduğu için mevcuttur) ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣=0\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| = 0 (sürekli olduğu için) olduğundan, bu iki limitin çarpımı g′(x0)=f′(x0)⋅0=0g'(x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0 olarak bulunur. Dolayısıyla g′(x0)g'(x_0) türevi mevcuttur ve sıfıra eşittir.
Çarpım limit kuralı uygulanarak limitin varlığı ve değeri gösterilir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinde mutlak değerli ifadelerin kritik noktalardaki türevlenebilirliğinin türev tanımıyla incelenmesi
Soru 4Soru →
f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geni�� aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

Azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
Fonksiyonun türevi f′(x)=x2(x−3)f'(x) = x^2(x-3) olarak bulunur. x=0x=0 çift katlı kök olduğundan bu noktada türevin işareti değişmez ve türev (−∞,3)(-\infty, 3) aralığında negatiftir. Süreklilikten dolayı fonksiyon (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=x3−3x2f'(x) = x^3 - 3x^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumunu incelemek için türevinin işaretine bakılması gerekir.
2
Türevin kökleri bulunur.
x2(x−3)=0⇒x=0x^2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0 (çift katlı kök) ve x=3x = 3 (tek katlı kök) olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları ve köklerin katlılık durumunu belirlemek için kökler bulunur.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur.
(−∞,3](-\infty, 3] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 ve [3,∞)[3, \infty) aralığında f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olduğu görülür.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı belirlemek için türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıkta o fonksiyon azalandır. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →
Her xx gerçek sayısı için artan olan
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Fonksiyonun her gerçek sayı için artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük ya da eşit (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) olmasını gerektirir. Türev fonksiyonu olan f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 ifadesi 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin daima sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük ya da eşit olması gerekir (Δ≤0\Delta \leq 0). Buradan 4(a−2)2−16≤0  ⟹  (a−2)2≤4  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤44(a-2)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-2)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 bulunur. Bu aralıktaki tam sayı değerleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1 fonksiyonunun türevini alınız.
f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 elde edilir.
Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumu, birinci türevinin işareti incelenerek belirlenir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçek sayısı için artan olma koşulunu yazınız.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 yani 3x2−6(a−2)x+12≥03x^2 - 6(a-2)x + 12 \geq 0 olmalıdır. Bu eşitsizlik 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta artan olması için türevinin o aralıkta sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 eşitsizliğinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanması koşulunu uygulayınız.
Baş katsayısı pozitif (1>01 > 0) olan ikinci dereceden bir ifadenin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır: Δ≤0\Delta \leq 0.
Δ=[−2(a−2)]2−4⋅1⋅4=4(a−2)2−16≤0\Delta = [-2(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a-2)^2 - 16 \leq 0 olur.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (parabol) daima xx ekseninin üzerinde veya teğet olmalıdır, bu da reel kökün olmaması veya çift katl�� kök olması (diskriminantın sıfıra eşit veya küçük olması) anlamına gelir.
4
4(a−2)2−16≤04(a-2)^2 - 16 \leq 0 eşitsizliğini çözerek aa değerlerinin aralığını ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulunuz.
(a−2)2≤4  ⟹  ∣a−2∣≤2  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤4(a-2)^2 \leq 4 \implies |a-2| \leq 2 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 0+1+2+3+4=100+1+2+3+4=10 olarak bulunur.
Eşitsizlik çözüldükten sonra sınır değerler dahil edilerek tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonları için bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması (Δ≤0\Delta \leq 0) şartına denk gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →
f(x)=(x2−x)3f(x) = (x^2 - x)^3

olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36
Bileşke fonksiyon türev kuralı (zincir kuralı) kullanılarak f(x)=(x2−x)3f(x) = (x^2 - x)^3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3(x2−x)2⋅(2x−1)f'(x) = 3(x^2 - x)^2 \cdot (2x - 1) olarak bulunur. Bu türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yazıldığında 3(22−2)2⋅(2⋅2−1)=3(2)2⋅(3)=3⋅4⋅3=363(2^2 - 2)^2 \cdot (2 \cdot 2 - 1) = 3(2)^2 \cdot (3) = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanır.
f′(x)=3(x2−x)2⋅(x2−x)′f'(x) = 3(x^2 - x)^2 \cdot (x^2 - x)'
[u(x)]n[u(x)]^n biçimindeki fonksiyonların türevi n⋅[u(x)]n−1⋅u′(x)n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x) formülüyle bulunur.
2
İçteki x2−xx^2 - x ifadesinin türevi hesaplanarak yerine yazılır.
f′(x)=3(x2−x)2⋅(2x−1)f'(x) = 3(x^2 - x)^2 \cdot (2x - 1)
Toplama/çıkarma kural��na göre (x2−x)′=2x−1(x^2 - x)' = 2x - 1 olur.
3
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=3(22−2)2⋅(2⋅2−1)=3(4−2)2⋅(4−1)=3⋅4⋅3=36f'(2) = 3(2^2 - 2)^2 \cdot (2 \cdot 2 - 1) = 3(4 - 2)^2 \cdot (4 - 1) = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36
Soruda istenen f′(2)f'(2) değerini bulmak için türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve temel üs kuralının uygulanması.
Soru 7Soru →
aa ve bb rasyonel sayılar olmak üzere,
f(x)=13x3−(a+1)x2+(a2+2a)x+bf(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a+1)x^2 + (a^2 + 2a)x + b
fonksiyonunun yerel maksimum noktası
y=13x3+2x2−4y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4
eğrisi üzerindedir.

ff fonksiyonunun yerel minimum değeri −3-3 olduğuna göre, bb kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Rasyonel katsayılı f fonksiyonu için b değeri -3 olarak bulunur.
Doğru değer olan -3 seçeneği, türev köklerinin x = a ve x = a+2 olarak belirlenmesi, küçük kök olan a değerinin yerel maksimum noktası oluşturması, bu noktanın verilen eğri üzerinde olmasından b = a^2 - 4 bağıntısının bulunması ve yerel minimum noktasının ordinatının -3 olmasından elde edilen a^3 + 6a^2 - 7 = 0 denkleminin rasyonel kökü olan a = 1 yardımıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak kritik noktalar belirlenir.
f′(x)=x2−2(a+1)x+a(a+2)f'(x) = x^2 - 2(a+1)x + a(a+2)
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunun kökleridir.
2
Türev fonksiyonunun kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunur.
(x−a)(x−(a+2))=0  ⟹  x1=a, x2=a+2(x-a)(x-(a+2)) = 0 \implies x_1 = a, \ x_2 = a+2
Türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek kritik noktalar elde edilir.
3
Türevin işaret tablosu incelenerek yerel maksimum ve minimum noktaları ayırt edilir.
x=ax = a noktası yerel maksimum apsisi, x=a+2x = a+2 noktası ise yerel minimum apsisidir.
Başkatsayı pozitif olduğundan, küçük kök yerel maksimuma, büyük kök yerel minimuma karşılık gelir.
4
Yerel maksimum noktası A(a,f(a))A(a, f(a)) koordinatları hesaplanır ve eğri denklemiyle ilişkilendirilir.
f(a)=13a3+a2+bf(a) = \frac{1}{3}a^3 + a^2 + b olup bu nokta eğri üzerinde olduğundan b=a2−4b = a^2 - 4 elde edilir.
Grafik üzerindeki her nokta, o grafi��in denklemini sağlamak zorundadır.
5
Yerel minimum değeri f(a+2)=−3f(a+2) = -3 eşitliği kullanılarak aa değerini veren denklem kurulur.
f(a+2)=13a3+2a2−163=−3  ⟹  a3+6a2−7=0f(a+2) = \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 - \frac{16}{3} = -3 \implies a^3 + 6a^2 - 7 = 0
Yerel minimum değeri, yerel minimum noktasının ordinatıdır.
6
Elde edilen üçüncü dereceden denklem rasyonel kökler için çözülür.
(a−1)(a2+7a+7)=0  ⟹  a=1(a-1)(a^2+7a+7) = 0 \implies a = 1 (çünkü diğer kökler irrasyoneldir).
aa parametresinin rasyonel sayı olduğu bilgisi kullanılarak tek çözüm belirlenir.
7
a=1a = 1 değeri kullanılarak bb değeri hesaplanır.
b=12−4=−3b = 1^2 - 4 = -3
b=a2−4b = a^2 - 4 eşitliğinde aa yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, polinomların analitik düzlemde eğrilerle olan ilişkisi ve parametrik katsayıların bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 8Soru →

Yarıçapı 9 cm9\text{ cm} olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

En büyük hacim 288*pi cm^3 olarak bulunur.
En büyük hacimli koninin yüksekliği türev yardımıyla 12 cm olarak belirlenir. Bu yükseklik değeri için taban yarıçapının karesi 72 cm^2 olur. Koni hacim formülü uygulandığında en büyük hacim 288*pi cm^3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin içine yerleştirilen dik koninin boyutları ile küre yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak için bir geometrik model oluşturulur.
Koninin taban yarıçapı rr ve yüksekliği hh olsun. Kürenin merkezi OO ve yarıçapı R=9 cmR = 9\text{ cm}'dir. Koninin taban merkezinin küre merkezine olan uzaklığı xx ise, yükseklik h=9+xh = 9 + x olur. Küre merkezinden koninin taban çemberine çizilen yarıçap dik üçgen oluşturur: r2+x2=92⇒r2=81−x2r^2 + x^2 = 9^2 \Rightarrow r^2 = 81 - x^2.
Koninin taban yarıçapını yüksekliği cinsinden ifade edebilmek için küre içindeki dik üçgen bağıntısını kullanırız.
2
Koninin hacmini tek bir değişkene (hh değişkenine) bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.
x=h−9x = h - 9 yazılırsa, r2=81−(h−9)2=18h−h2r^2 = 81 - (h - 9)^2 = 18h - h^2 elde edilir. Koninin hacim formülü V(h)=13πr2hV(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h olduğuna göre, hacim fonksiyonu V(h)=13π(18h−h2)h=13π(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi (18h - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (18h^2 - h^3) olarak bulunur.
Maksimum hacmi bulabilmek amacıyla türevi alınacak tek değişkenli fonksiyonu elde etmek gerekir.
3
Hacim fonksiyonunun maksimum değerini bulmak için hh değişkenine göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir.
V′(h)=13π(36h−3h2)=πh(12−h)=0V'(h) = \frac{1}{3}\pi (36h - 3h^2) = \pi h (12 - h) = 0 denklemi elde edilir. Buradan h>0h > 0 olması gerektiğinden h=12 cmh = 12\text{ cm} bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olduğu noktalarda aranır.
4
Bulunan yükseklik değeri için maksimum hacmi hesaplamak.
h=12 cmh = 12\text{ cm} için koninin hacmi V(12)=13π(18⋅122−123)=13π⋅122⋅(18−12)=13π⋅144⋅6=288π cm3V(12) = \frac{1}{3}\pi (18 \cdot 12^2 - 12^3) = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot (18 - 12) = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 6 = 288\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Hacim fonksiyonunda kritik noktayı yerine yazarak maksimum hacim değerini elde ederiz.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla geometrik şekillerin maksimum ve minimum hacim/alan hesaplamalarının yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=4g'(3) = 4
eşitlikleri veriliyor.
f(x)=(x2+1)⋅g(2x−1)f(x) = (x^2 + 1) \cdot g(2x - 1)
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48 değeri doğrudur.
Çarpımın türevi kuralı [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ve zincir kuralı [g(2x−1)]′=g′(2x−1)⋅2[g(2x-1)]' = g'(2x-1) \cdot 2 ilkeleri uygulanıp x=2x=2 yazıldığında f′(2)=48f'(2) = 48 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralını ve zincir kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=2x⋅g(2x−1)+(x2+1)⋅g′(2x−1)⋅2f'(x) = 2x \cdot g(2x-1) + (x^2 + 1) \cdot g'(2x-1) \cdot 2
f(x)f(x) iki fonksiyonun çarpımı biçimindedir ve çarpımın türevi kuralı ile bileşke fonksiyonun türevindeki zincir kuralı uygulanmalıdır.
2
Bulunan türev denkleminde x yerine 2 yazınız.
f′(2)=2(2)⋅g(2(2)−1)+(22+1)⋅g′(2(2)−1)⋅2=4⋅g(3)+5⋅g′(3)⋅2f'(2) = 2(2) \cdot g(2(2)-1) + (2^2 + 1) \cdot g'(2(2)-1) \cdot 2 = 4 \cdot g(3) + 5 \cdot g'(3) \cdot 2
İstenen f′(2)f'(2) değerini bulmak için tüm değişkenlerin yerine 2 yerleştirilmelidir.
3
Soruda verilen g(3) = 2 ve g'(3) = 4 değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplayınız.
f′(2)=4⋅2+5⋅4⋅2=8+40=48f'(2) = 4 \cdot 2 + 5 \cdot 4 \cdot 2 = 8 + 40 = 48
Verilen fonksiyonel değerlerin aritmetik işlemleri tamamlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi kuralı ve zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyon türevi hesabı.
Soru 10Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−4x+axf(x) = x^2 - \frac{4}{x} + a\sqrt{x}
fonksiyonu x>0x > 0 için tanımlanmıştır.
f′(4)=9f'(4) = 9
olduğuna göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru türev alma kuralları uygulanarak elde edilen 3 değeri
Fonksiyonun türevi alınıp x=4x = 4 değeri yerine yazıldığında aa değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonu türev almaya uygun şekilde üslü ifade biçiminde düzenleyelim.
f(x)=x2−4x−1+a⋅x1/2f(x) = x^2 - 4x^{-1} + a \cdot x^{1/2}
Üs kuralını kolayca uygulayabilmek için rasyonel ve köklü ifadeleri üslü biçime çeviriyoruz.
2
Türev alma kuralını ([xn]′=n⋅xn−1[x^n]' = n \cdot x^{n-1}) her bir terime uygulayarak fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=2x−4(−1)x−2+a⋅12x−1/2=2x+4x2+a2xf'(x) = 2x - 4(-1)x^{-2} + a \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{4}{x^2} + \frac{a}{2\sqrt{x}}
Türev fonksiyonunu elde etmek için.
3
Türev fonksiyonunda x=4x = 4 yazalım, sonucu 9'a eşitleyip aa değerini bulalım.
f′(4)=2(4)+442+a24=8+14+a4=9  ⟹  33+a4=9  ⟹  33+a=36  ⟹  a=3f'(4) = 2(4) + \frac{4}{4^2} + \frac{a}{2\sqrt{4}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{a}{4} = 9 \implies \frac{33+a}{4} = 9 \implies 33 + a = 36 \implies a = 3
Verilen f′(4)=9f'(4) = 9 eşitliğini kullanarak bilinmeyen aa değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları ve üs kuralının uygulanması.
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(3)=2f′(3)=−1g(3)=6g′(3)=8\begin{aligned} f(3) &= 2 \\ f'(3) &= -1 \\ g(3) &= 6 \\ g'(3) &= 8 \end{aligned}
eqitlikleri sağlanmaktadır.
h(x)=(x2−2x)⋅f(x)+g(x)xh(x) = (x^2 - 2x) \cdot f(x) + \frac{g(x)}{x}
biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(3)h'(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemler yapıldığında h′(3)h'(3) değeri 7 olarak bulunur.
Çarpım ve bölüm türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında h′(3)=7h'(3) = 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev kurallarını (çarpım ve bölüm kuralları) belirleme ve türev ifadesini yazma.
h′(x)=(2x−2)⋅f(x)+(x2−2x)⋅f′(x)+x⋅g′(x)−g(x)x2h'(x) = (2x - 2) \cdot f(x) + (x^2 - 2x) \cdot f'(x) + \frac{x \cdot g'(x) - g(x)}{x^2}
h(x)h(x) fonksiyonu iki terimden oluşmaktadır: Birinci terim için çarpım kuralı, ikinci terim için bölüm kuralı uygulanmalıdır.
2
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazma.
h′(3)=4⋅f(3)+3⋅f′(3)+3⋅g′(3)−g(3)9h'(3) = 4 \cdot f(3) + 3 \cdot f'(3) + \frac{3 \cdot g'(3) - g(3)}{9}
Türevin x=3x = 3 noktasındaki değerini bulmak için fonksiyondaki tüm xx değişkenleri yerine 3 yazılır.
3
Verilen fonksiyonel değerleri yerine koyarak aritmetik hesaplama yapma.
h′(3)=7h'(3) = 7
f(3)=2f(3) = 2, f′(3)=−1f'(3) = -1, g(3)=6g(3) = 6 ve g′(3)=8g'(3) = 8 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları
Soru 12Soru →
f(x)=x2+axx−1f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 33 olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 0'dır.
Türev sıfıra eşitlenerek a=3a = 3 olarak bulunur. Türevin kökleri olan x=3x = 3 (yerel minimum) ve x=−1x = -1 (yerel maksimum) değerlerinden yerel maksimum noktası B(−1,1)B(-1, 1) olarak elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı olan −1+1=0-1 + 1 = 0 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x-1)^2}
Ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Yerel minimum noktasının apsisi olan x=3x=3 değeri türevde yerine yazılarak sıfıra eşitlenir.
32−2(3)−a=0  ⟹  a=33^2 - 2(3) - a = 0 \implies a = 3
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıfırdır.
3
a=3a=3 değeri fonksiyon türevinde yerine yazılarak türevin kökleri bulunur.
f′(x)=x2−2x−3(x−1)2=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x1=3, x2=−1f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x_1 = 3,\, x_2 = -1
Diğer ekstremum noktalarını ve t��revin işaret değişimini incelemek için kökler belirlenmelidir.
4
Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel maksimum noktası tespit edilir.
x=−1x = -1 noktasında türev işareti artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yerel maksimum noktası belirlenir.
5
x=−1x = -1 değeri fonksiyonda yerine yazılarak maksimum noktanın koordinatları toplamı hesaplanır.
f(−1)=1  ⟹  (−1)+1=0f(-1) = 1 \implies (-1) + 1 = 0
Maksimum noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamı istenir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir fonksiyonların yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve işaret değiştirir.
Soru 13Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=asin⁡(x)+cos⁡(2x)f(x) = a \sin(x) + \cos(2x)
fonksiyonunun grafiğine x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu,
3x−y+5=0\sqrt{3}x - y + 5 = 0
doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a = 4
Grafiğe üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevidir. İki doğrunun paralel olması eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan hareketle f′(π6)=3f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} eşitliği kurularak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=acos⁡(x)−2sin⁡(2x)f'(x) = a \cos(x) - 2 \sin(2x)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=π6x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(π6)=acos⁡(π6)−2sin⁡(π3)=(a−2)32f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = (a-2)\frac{\sqrt{3}}{2}
x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktadaki teğetin eğim ifadesini elde etmek için trigometrik değerler yerine yazılır.
3
Verilen doğrunun eğimini bulun.
m=3m = \sqrt{3}
4
Teğet doğrusu ile verilen doğrunun paralellik şartını uygulayarak aa değerini çözün.
a=4a = 4
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu nedenle (a−2)32=3(a-2)\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} eşitliğinden a−2=2  ⟹  a=4a-2 = 2 \implies a = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve paralel doğruların eğim ilişkisi
Soru 14Soru →

Türevlenebilen bir ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri 22 ve bu noktadaki türevi 55 olarak bilinmektedir.

Buna göre,
h(x)=f(x)−2xf(x)+x2h(x) = \frac{f(x) - 2x}{f(x) + x^2}

kuralı ile belirlenen hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Türevin x = 1 noktasındaki değeri 1'dir.
Bölüm türevi kuralı ve türevin doğrusal özellikleri doğrudan uygulandığında h′(1)=1h'(1) = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralını yazalım.
h′(x)=(f(x)−2x)′(f(x)+x2)−(f(x)−2x)(f(x)+x2)′(f(x)+x2)2h'(x) = \frac{(f(x) - 2x)'(f(x) + x^2) - (f(x) - 2x)(f(x) + x^2)'}{(f(x) + x^2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
2
Pay ve paydadaki ifadelerin türevlerini alalım.
(f(x)−2x)′=f′(x)−2(f(x) - 2x)' = f'(x) - 2 ve (f(x)+x2)′=f′(x)+2x(f(x) + x^2)' = f'(x) + 2x
Toplam ve fark türevi ile temel kuvvet türevi kuralları (x2→2xx^2 \to 2x) uygulanır.
3
h′(x)h'(x) ifadesini düzenleyip x=1x=1 değerini yerine yazalım.
h′(1)=(f′(1)−2)(f(1)+12)−(f(1)−2(1))(f′(1)+2(1))(f(1)+12)2h'(1) = \frac{(f'(1) - 2)(f(1) + 1^2) - (f(1) - 2(1))(f'(1) + 2(1))}{(f(1) + 1^2)^2}
x=1x = 1 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 11 yazılır.
4
f(1)=2f(1) = 2 ve f′(1)=5f'(1) = 5 değerlerini yerleştirelim.
h′(1)=(5−2)(2+1)−(2−2)(5+2)(2+1)2=3⋅3−0⋅732=1h'(1) = \frac{(5 - 2)(2 + 1) - (2 - 2)(5 + 2)}{(2 + 1)^2} = \frac{3 \cdot 3 - 0 \cdot 7}{3^2} = 1
Soru kökündeki verilen değerler kullanılarak aritmetik işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi ve Temel Türev Kuralları
Soru 15Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijin O(0,0)O(0,0) noktasında olan bir OABOAB dik üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin [OA][OA] kenarı pozitif xx-ekseni üzerinde, BB köşesi ise birinci bölgede y=x⋅e−xy = x \cdot e^{-x} eğrisi üzerindedir. [OA]⊥[AB][OA] \perp [AB] olduğuna göre, bu üçgenin alanının maksimum değerini almas��nı sağlayan θ=m(AOB^)\theta = m(\widehat{AOB}) dar açısı için tan⁡θ\tan\theta değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1e2\frac{1}{e^2}

Cevap

Maksimum alan durumunda dik üçgende dar açının tanjantı karşı dik kenar bölü komşu dik kenar oranından 1/e^2 olarak elde edilir.
Üçgenin alanını veren 12x2e−x\frac{1}{2}x^2 e^{-x} fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde alanı maksimum yapan apsis değeri x=2x=2 olarak bulunur. Bu durumda karşı dik kenar 2e−22e^{-2} birim, komşu dik kenar ise 22 birim uzunluğunda olur. θ\theta açısının tanjantı karşı/komşu oranından e−2e^{-2} yani 1/e21/e^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin köşelerinin koordinatlarını değişken cinsinden belirleme
BB köşesi y=x⋅e−xy = x \cdot e^{-x} eğrisi üzerinde olduğundan koordinatları B(x,x⋅e−x)B(x, x \cdot e^{-x}) şeklindedir. [OA][OA] kenarı xx-ekseni üzerinde ve [OA]⊥[AB][OA] \perp [AB] olduğundan AA köşesi A(x,0)A(x, 0) olur.
Üçgenin alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için köşe koordinatlarının belirlenmesi gerekir.
2
Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma
OABOAB dik üçgeninin dik kenar uzunlukları ∣OA∣=x|OA| = x ve ∣AB∣=x⋅e−x|AB| = x \cdot e^{-x} birimdir. Buradan üçgenin alanı Alan(x)=12⋅∣OA∣⋅∣AB∣=12x2e−x\text{Alan}(x) = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |AB| = \frac{1}{2} x^2 e^{-x} olarak elde edilir.
Maksimum yapılacak olan büyüklük alan olduğundan, alanın xx değişkenine bağlı fonksiyonu kurulmalıdır.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktaları bulma
Alan′(x)=12(2x⋅e−x−x2⋅e−x)=12x(2−x)e−x\text{Alan}'(x) = \frac{1}{2} \left( 2x \cdot e^{-x} - x^2 \cdot e^{-x} \right) = \frac{1}{2} x(2 - x)e^{-x} olur. Alan′(x)=0\text{Alan}'(x) = 0 denklemini sağlayan pozitif xx değeri x=2x = 2 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarını belirlemek için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.
4
Bulunan kritik değer için tanjant oranını hesaplama
x=2x = 2 için OABOAB dik üçgeninde θ=m(AOB^)\theta = m(\widehat{AOB}) açısının tanjantı tan⁡θ=∣AB∣∣OA∣=2e−22=e−2=1e2\tan\theta = \frac{|AB|}{|OA|} = \frac{2e^{-2}}{2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2} olarak bulunur.
Alanı maksimum yapan xx değeri kullanılarak soru kökünde istenen trigonometrik oran hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(x2⋅g(x))h(x) = f(x^2 \cdot g(x))
biçiminde tanımlanıyor.
g(2)=1g(2) = 1, g′(2)=−3g'(2) = -3 ve f′(4)=5f'(4) = 5 olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -40

Cevap

-40
Bileşke fonksiyonun türevi ve çarpım türevi kuralları sırasıyla uygulanarak h′(x)=f′(x2⋅g(x))⋅(2x⋅g(x)+x2⋅g′(x))h'(x) = f'(x^2 \cdot g(x)) \cdot (2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)) ifadesi elde edilir. x=2x = 2 için verilen değerler yerine konulduğunda doğru sonuç −40-40 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türevi kuralını uygulayarak h′(x)h'(x) ifadesini yazın.
h′(x)=f′(x2⋅g(x))⋅(x2⋅g(x))′h'(x) = f'(x^2 \cdot g(x)) \cdot (x^2 \cdot g(x))'
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyonun türeviyle çarpılmalıdır.
2
İçteki x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.
(x2⋅g(x))′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)(x^2 \cdot g(x))' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi; birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklinde hesaplanır.
3
Türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak verilen değerleri yerine yerleştirin.
h′(2)=f′(4⋅g(2))⋅(4⋅g(2)+4⋅g′(2))h'(2) = f'(4 \cdot g(2)) \cdot (4 \cdot g(2) + 4 \cdot g'(2))
h′(2)=f′(4⋅1)⋅(4⋅1+4⋅(−3))h'(2) = f'(4 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 1 + 4 \cdot (-3))
h′(2)=f′(4)⋅(4−12)h'(2) = f'(4) \cdot (4 - 12)
h′(2)=5⋅(−8)=−40h'(2) = 5 \cdot (-8) = -40
Soruda verilen g(2)=1g(2) = 1, g′(2)=−3g'(2) = -3 ve f′(4)=5f'(4) = 5 değerlerini kullanarak h′(2)h'(2) değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (f(u(x)))′=f′(u(x))⋅u′(x)(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x). Eğer içteki fonksiyon çarpım durumundaysa çarpım türevi kuralı da kullanılmalıdır.
Soru 17Soru →
Bir aa parametresi için, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=(x−3)2⋅∣x−a∣f(x) = (x-3)^2 \cdot |x-a|
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 77 olarak verilmiştir.

Buna göre, aa sayısının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95\frac{9}{5}

Cevap

9/5
Fonksiyonun her yerde sürekli ve negatif olmayan (f(x)≥0f(x) \ge 0) yapısı incelendiğinde, x=3x=3 ve x=ax=a noktalarında sıfır değerini alarak yerel minimum yaptığı görülür. Ayrıca iki minimum noktası arasında fonksiyonun türevinin sıfır olduğu x=2a+33x = \frac{2a+3}{3} noktası yerel maksimumdur. Bu üç apsisin toplamı 77 değerine eşitlenerek a=95a = \frac{9}{5} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun genel yapısını inceleyip köklerdeki yerel ekstremum durumunu belirleme
f(x)=(x−3)2∣x−a∣f(x) = (x-3)^2 |x-a| fonksiyonu her xx gerçel sayısı için f(x)≥0f(x) \ge 0 değerini alır. Fonksiyonu sıfır yapan x=3x = 3 ve x=ax = a noktalarında fonksiyon mutlak minimum değerine (yani sıfıra) ulaşır. Bu nedenle, x=3x = 3 ve x=ax = a noktaları kesinlikle birer yerel minimum noktasıdır.
Bir fonksiyon sürekli olduğu bir noktada çevre komşuluğuna göre en küçük değeri alıyorsa, o nokta yerel minimum noktasıdır.
2
Türevlenebilir olduğu bölgelerde türev hesabı yaparak diğer ekstremum noktalarını bulma
x≠ax \neq a için fonksiyonun türevi alınırsa; x>ax > a için f′(x)=(x−3)(3x−2a−3)f'(x) = (x-3)(3x-2a-3) ve x<ax < a için f′(x)=−(x−3)(3x−2a−3)f'(x) = -(x-3)(3x-2a-3) bulunur. Buradan t��revi sıfır yapan diğer kritik nokta x=2a+33x = \frac{2a+3}{3} olarak belirlenir. Bu nokta, fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işaret değiştirdiği iç noktalar fonksiyonun yön değiştirdiği ekstremum noktalarını verir.
3
Apsisler toplamı eşitliğini kurarak bilinmeyen parametreyi çekme
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri sırasıyla 33, aa ve 2a+33\frac{2a+3}{3} noktalarıdır. Bunların toplamı:
3+a+2a+33=7  ⟹  a+2a+33=4  ⟹  5a+3=12  ⟹  a=953 + a + \frac{2a+3}{3} = 7 \implies a + \frac{2a+3}{3} = 4 \implies 5a + 3 = 12 \implies a = \frac{9}{5} olarak hesaplanır.
Soruda verilen ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 7 olması bilgisini kullanmak amacıyla.
4
Bulunan parametre değerinin aralık tutarlılığını kontrol etme
a=1.8a = 1.8 için ekstremum noktaları 1.81.8, 2.22.2 ve 33 olur. 1.8<2.2<31.8 < 2.2 < 3 koşulu sağlandığı için yerel maksimum noktası gerçekten de iki yerel minimum noktası arasında yer alır ve çözüm tutarlıdır.
Mutlak değer işaretinin açıldığı aralıkların doğruluğunu teyit etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

Türevlenebilen ve türevlenemeyen sürekli fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının analizi
Soru 18Soru →

m,nm, n ve kk birer gerçel sayı olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan ff fonksiyonu

f(x)={x2+mx+n,x<2∣x−3∣+k,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + mx + n, & x < 2 \\ |x - 3| + k, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır.

ff fonksiyonunun türevinin olmadığı yalnızca bir nokta bulunduğuna göre, mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türevlenebilirlik ve süreklilik ilişkisine göre aranan bilinmeyen parametre değeri -5'tir.
Fonksiyonun türevinin olmadığı tek nokta x=3x = 3 olduğundan, sınır noktası olan x=2x = 2 noktasında türevli olması gerekir. x=2x = 2 noktasındaki sol türevin (4+m4+m) sağ türeve (−1-1) eşitlenmesiyle doğru değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
T��revlenemeyen noktanın belirlenmesi.
x=3x = 3 noktası, f(x)=∣x−3∣+kf(x) = |x - 3| + k ifadesinin içini sıfır yapan tek katlı kök olduğundan, fonksiyon bu noktada sürekli olmasına rağmen bir köşe (kırılma) noktasına sahiptir ve türevli değildir.
Mutlak değer fonksiyonları, içlerini sıfır yapan tek katlı köklerde sürekli olsalar bile türevlenebilir değildirler.
2
Kritik sınır noktası olan x=2x = 2 noktasındaki türevlenebilirlik koşulunun incelenmesi.
ff fonksiyonunun t��revinin olmadığı yalnızca bir nokta (x=3x = 3) olduğu belirtildiğine göre, fonksiyon diğer kritik nokta olan x=2x = 2 noktasında türevlenebilir olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ile sol türevlerinin eşit olması gerekir.
3
x=2x = 2 noktasındaki sağ ve sol türevlerin hesaplanıp eşitlenmesi.
x<2x < 2 için f′(x)=2x+m  ⟹  f′(2−)=4+mf'(x) = 2x + m \implies f'(2^-) = 4 + m olur. 2<x<32 < x < 3 aralığında x−3<0x-3 < 0 olduğundan ∣x−3∣=3−x|x-3| = 3-x olarak dışarı çıkar ve bu aralıktaki türevi f′(x)=−1  ⟹  f′(2+)=−1f'(x) = -1 \implies f'(2^+) = -1 bulunur. Bu türevlerin eşitliğinden 4+m=−1  ⟹  m=−54 + m = -1 \implies m = -5 elde edilir.
x=2x = 2 noktasında türevin var olabilmesi için sol türevin sağ türeve eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması, ardından o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir. Mutlak değer fonksiyonları ise içlerini sıfır yapan noktalarda sürekli olsalar dahi türevli olmayabilirler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+axx−1f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}
eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu,
2y−x+4=02y - x + 4 = 0
doğrusuna diktir.

Buna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

a değeri -1/2'dir.
Verilen doğrunun eğimi 1/21/2 olduğundan, bu doğruya dik olan normal doğrusunun eğimi −2-2 olur. Teğet doğrusu ile normal doğrusu da birbirine dik olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan türev değeri f′(2)=1/2f'(2) = 1/2 olmalıdır. Bölüm kuralı yardımıyla alınan türevde x=2x=2 yazıldığında elde edilen −a-a ifadesi bu eğime eşitlenerek a=−1/2a = -1/2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulma
m=12m = \frac{1}{2}
2y−x+4=0  ⟹  2y=x−4  ⟹  y=12x−22y - x + 4 = 0 \implies 2y = x - 4 \implies y = \frac{1}{2}x - 2 şeklinde düzenlenerek doğrunun eğimi bulunur.
2
Normal doğrusunun eğimini belirleme
mn=−2m_n = -2
Normal doğrusu verilen doğruya dik olduğundan, eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır (mn⋅12=−1  ⟹  mn=−2m_n \cdot \frac{1}{2} = -1 \implies m_n = -2).
3
Türev değeri ile normal eğimi ilişkisini kurma
f′(2)=12f'(2) = \frac{1}{2}
x=2x=2 noktasındaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan, eğimleri çarpımı −1-1 olur (f′(2)⋅mn=−1  ⟹  f′(2)⋅(−2)=−1  ⟹  f′(2)=12f'(2) \cdot m_n = -1 \implies f'(2) \cdot (-2) = -1 \implies f'(2) = \frac{1}{2}).
4
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=2x=2 yazarak aa'yı çözme
a=−12a = -\frac{1}{2}
Bölümün türevi kuralı uygulanır: f′(x)=(2x+a)(x−1)−(x2+ax)⋅1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x-1) - (x^2+ax) \cdot 1}{(x-1)^2}. x=2x=2 yazıldığında f′(2)=(4+a)(1)−(4+2a)12=4+a−4−2a=−af'(2) = \frac{(4+a)(1) - (4+2a)}{1^2} = 4+a-4-2a = -a elde edilir. Buradan −a=12  ⟹  a=−12-a = \frac{1}{2} \implies a = -\frac{1}{2} bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi mnm_n ve teğet doğrusunun eğimi mt=f′(x0)m_t = f'(x_0) olmak üzere, bu doğrular dik kesiştiği için mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1 bağıntısı geçerlidir. Ayrıca birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Soru 20Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−3x+4f(x) = x^2 - 3x + 4 parabolünün grafiğine P(0,1)P(0, 1) noktasından çizilen teğet doğrularının eğimleri çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Teğet doğrularının eğimleri çarpımı −3-3'tür.
Dışarıdaki noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları belirlenerek elde edilen eğimlerin çarpımı −3-3'tür. Değme noktaları x0=±3x_0 = \pm\sqrt{3} olup teğet eğimleri m1=23−3m_1 = 2\sqrt{3}-3 ve m2=−23−3m_2 = -2\sqrt{3}-3 şeklinde hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı −3-3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun değme noktasını A(x0,y0)A(x_0, y_0) olarak belirleyip, bu noktanın parabol üzerinde olduğunu yazalım.
y0=x02−3x0+4y_0 = x_0^2 - 3x_0 + 4 elde edilir.
Teğet doğrusunun denklemine ulaşmak için değme noktasının koordinatlarını fonksiyon türünden ifade etmeliyiz.
2
Parabolün türevini alarak değme noktasındaki teğetin eğimini (mm) bulalım.
f′(x)=2x−3  ⟹  m=2x0−3f'(x) = 2x - 3 \implies m = 2x_0 - 3 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
3
A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasından çizilen ve eğimi mm olan, aynı zamanda P(0,1)P(0, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun eğim formülünü yazıp x0x_0 değerlerini bulalım.
m=y0−1x0−0  ⟹  2x0−3=x02−3x0+4−1x0  ⟹  2x02−3x0=x02−3x0+3  ⟹  x02=3  ⟹  x0=3m = \frac{y_0 - 1}{x_0 - 0} \implies 2x_0 - 3 = \frac{x_0^2 - 3x_0 + 4 - 1}{x_0} \implies 2x_0^2 - 3x_0 = x_0^2 - 3x_0 + 3 \implies x_0^2 = 3 \implies x_0 = \sqrt{3} veya x0=−3x_0 = -\sqrt{3} bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü ile türevden elde edilen eğimi birbirine eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini elde ederiz.
4
Bulunan x0x_0 apsis değerlerini teğet eğimi formülünde (m=2x0−3m = 2x_0 - 3) yerine yazarak teğet doğrularının eğimlerini (m1m_1 ve m2m_2) bulalım ve çarpalım.
m1=23−3m_1 = 2\sqrt{3} - 3 ve m2=−23−3m_2 = -2\sqrt{3} - 3 olur. Eğimler çarpımı: m1⋅m2=(23−3)(−23−3)=−(23−3)(23+3)=−((23)2−32)=−(12−9)=−3m_1 \cdot m_2 = (2\sqrt{3} - 3)(-2\sqrt{3} - 3) = -(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3) = -((2\sqrt{3})^2 - 3^2) = -(12 - 9) = -3 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen teğet doğrularının eğimleri çarpımını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerini ve eğimlerini türev yardımıyla bulma.
Sayfa 1 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin