Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−3x+4f(x) = x^2 - 3x + 4 parabolünün grafiğine P(0,1)P(0, 1) noktasından çizilen teğet doğrularının eğimleri çarpımı kaçtır?

  1. A
    -7
  2. B
    -5
  3. -3Cevap
  4. D
    3
  5. E
    9

Cevap

Teğet doğrularının eğimleri çarpımı −3-3'tür.
Dışarıdaki noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları belirlenerek elde edilen eğimlerin çarpımı −3-3'tür. Değme noktaları x0=±3x_0 = \pm\sqrt{3} olup teğet eğimleri m1=23−3m_1 = 2\sqrt{3}-3 ve m2=−23−3m_2 = -2\sqrt{3}-3 şeklinde hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı −3-3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun değme noktasını A(x0,y0)A(x_0, y_0) olarak belirleyip, bu noktanın parabol üzerinde olduğunu yazalım.
y0=x02−3x0+4y_0 = x_0^2 - 3x_0 + 4 elde edilir.
Teğet doğrusunun denklemine ulaşmak için değme noktasının koordinatlarını fonksiyon türünden ifade etmeliyiz.
2
Parabolün türevini alarak değme noktasındaki teğetin eğimini (mm) bulalım.
f′(x)=2x−3  ⟹  m=2x0−3f'(x) = 2x - 3 \implies m = 2x_0 - 3 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
3
A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasından çizilen ve eğimi mm olan, aynı zamanda P(0,1)P(0, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun eğim formülünü yazıp x0x_0 değerlerini bulalım.
m=y0−1x0−0  ⟹  2x0−3=x02−3x0+4−1x0  ⟹  2x02−3x0=x02−3x0+3  ⟹  x02=3  ⟹  x0=3m = \frac{y_0 - 1}{x_0 - 0} \implies 2x_0 - 3 = \frac{x_0^2 - 3x_0 + 4 - 1}{x_0} \implies 2x_0^2 - 3x_0 = x_0^2 - 3x_0 + 3 \implies x_0^2 = 3 \implies x_0 = \sqrt{3} veya x0=−3x_0 = -\sqrt{3} bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü ile türevden elde edilen eğimi birbirine eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini elde ederiz.
4
Bulunan x0x_0 apsis değerlerini teğet eğimi formülünde (m=2x0−3m = 2x_0 - 3) yerine yazarak teğet doğrularının eğimlerini (m1m_1 ve m2m_2) bulalım ve çarpalım.
m1=23−3m_1 = 2\sqrt{3} - 3 ve m2=−23−3m_2 = -2\sqrt{3} - 3 olur. Eğimler çarpımı: m1⋅m2=(23−3)(−23−3)=−(23−3)(23+3)=−((23)2−32)=−(12−9)=−3m_1 \cdot m_2 = (2\sqrt{3} - 3)(-2\sqrt{3} - 3) = -(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3) = -((2\sqrt{3})^2 - 3^2) = -(12 - 9) = -3 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen teğet doğrularının eğimleri çarpımını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerini ve eğimlerini türev yardımıyla bulma.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru