Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçek sayı olmak üzere
f(x)=x3−3x2−6x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + k
eğrisinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğru, bu eğriye x=ax = a (a>0a > 0) apsisli noktasında teğet olan doğruya paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olduğundan, paralel teğet doğrusunun eğimi de f′(a)=−6f'(a) = -6 olmalıdır. Bu denklemin çözülmesiyle a>0a > 0 koşulunu sağlayan değer 22 olarak elde edilir.
Eğrinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olarak bulunur. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan f′(a)f'(a) değeri de −6-6'ya eşitlenir. Buradan elde edilen pozitif kök aranan sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem elde edilir.
f′(x)=3x2−6x−6=0  ⟹  x2−2x−2=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun.
Yerel ekstremum noktalarında fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatlarını veren ifadeler, derece azaltma yöntemiyle birinci dereceden terimler cinsinden yazılır.
x2=2x+2x^2 = 2x + 2 eşitliği kullanılarak f(x)=−6x+k−2f(x) = -6x + k - 2 bulunur. Dolayısıyla ekstremum noktaları A(x1,−6x1+k−2)A(x_1, -6x_1 + k - 2) ve B(x2,−6x2+k−2)B(x_2, -6x_2 + k - 2) olur.
İki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplamak için ordinat değerlerini sadeleştirmek gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi (m1m_1) hesaplanır.
m1=(−6x2+k−2)−(−6x1+k−2)x2−x1=−6m_1 = \frac{(-6x_2 + k - 2) - (-6x_1 + k - 2)}{x_2 - x_1} = -6 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.
4
Eğriye x=ax = a apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi (m2m_2) bu eğime eşitlenerek aa değeri çözülür.
f′(a)=−6  ⟹  3a2−6a−6=−6  ⟹  3a(a−2)=0f'(a) = -6 \implies 3a^2 - 6a - 6 = -6 \implies 3a(a-2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan a=0a = 0 veya a=2a = 2 bulunur. a>0a > 0 şartından dolayı a=2a = 2'dir.
Paralel doğruların eğimleri eşittir ve teğet doğrusunun eğimi türeve eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğiminin türev yardımıyla bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru