Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2
fonksiyonunun grafiği, aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde
g(x)=x3−9x2+24x−15g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15
fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    5
  3. 7Cevap
  4. D
    9
  5. E
    -3

Cevap

7
Doğru cevap 7'dir. Fonksiyon aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b olur. Bu dönüşüm uygulandığında elde edilen polinomun katsayıları, verilen g(x)g(x) polinomunun katsayıları ile eşitlenerek a=2a = 2 ve b=5b = 5 değerlerine ulaşılır. Buradan toplam 2+5=72 + 5 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelenmiş halini veren g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b ifadesini oluşturmak.
g(x)=(x−a)3−3(x−a)2+bg(x) = (x - a)^3 - 3(x - a)^2 + b fonksiyonu elde edilir.
Fonksiyonların yatayda sağa ötelenmesi xx yerine x−ax - a yazarak, dikeyde yukarı ötelenmesi ise fonksiyona bb ekleyerek gerçekleştirilir.
2
Elde edilen g(x)g(x) ifadesini açarak düzenlemek ve terimlerini derecelerine göre gruplandırmak.
g(x)=x3−(3a+3)x2+(3a2+6a)x−a3−3a2+bg(x) = x^3 - (3a + 3)x^2 + (3a^2 + 6a)x - a^3 - 3a^2 + b ifadesi bulunur.
Polinomların eşitliği ilkesini kullanarak katsayıları karşılaştırabilmek için ifadenin açık halinin yazılması gerekir.
3
Düzenlenen g(x)g(x) ifadesinin katsayılarını soruda verilen g(x)=x3−9x2+24x−15g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15 ifadesinin katsayıları ile eşitlemek.
x2x^2'li terimden −(3a+3)=−9  ⟹  a=2-(3a + 3) = -9 \implies a = 2 bulunur. Bu değer xx'li terimin katsayısında yerine konduğunda 3(2)2+6(2)=243(2)^2 + 6(2) = 24 eşitliği sağlanır. Sabit terimden ise −23−3(22)+b=−15  ⟹  −20+b=−15  ⟹  b=5-2^3 - 3(2^2) + b = -15 \implies -20 + b = -15 \implies b = 5 bulunur. Buradan a+b=2+5=7a + b = 2 + 5 = 7 elde edilir.
İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması gerekir. Bu eşitliklerden öteleme miktarları olan aa ve bb değerleri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay ve dikey öteleme dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Bu konudan daha fazla soru