Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kestiğine göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

  1. 247\frac{24}{7}Cevap
  2. B
    2437\frac{24\sqrt{3}}{7}
  3. C
    2427\frac{24\sqrt{2}}{7}
  4. D
    487\frac{48}{7}
  5. E
    127\frac{12}{7}

Cevap

24 bölü 7
İç açıortay teoremi uyarınca köşeden çizilen açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranı olan 6/8 = 3/4 oranında böler. Açıortay açıyı 60 derecelik iki eş açıya böldüğünden, oluşan iki alt üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ortak bilinmeyenler sadeleşerek doğru uzunluk 24 bölü 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını yazma
|BD| / |CD| = |AB| / |AC| = 6/8 = 3/4. Buradan |BD| = 3k ve |CD| = 4k belirlenir.
Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir.
2
Kosinüs Teoremini ABD ve ACD üçgenlerinde AD = x için uygulama
ABD üçgeninde: 9k^2 = 36 + x^2 - 6x. ACD üçgeninde: 16k^2 = 64 + x^2 - 8x.
Açıortay açıyı iki eşit 60 derecelik açıya böldüğü için her iki üçgende de cos(60) = 1/2 kullanılarak bağıntılar yazılır.
3
Denklemleri ortak çözerek x değerini yalnız bırakma
16(36 + x^2 - 6x) = 9(64 + x^2 - 8x) ise 7x^2 = 24x ve x = 24/7 bulunur.
k^2 terimini yok etmek için denklemler uygun katsayılarla çarpılıp eşitlenir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoreminin birlikte uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru