Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [AC][AC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AD∣=4 birim|AD| = 4\text{ birim}
∣BD∣=∣DC∣=5 birim|BD| = |DC| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    77
  2. B
    572\frac{5\sqrt{7}}{2}
  3. 152\frac{15}{2}Cevap
  4. D
    525\sqrt{2}
  5. E
    88

Cevap

15/2 birim
Doğru olan 15/2 değeri, birinci üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak elde edilen kosinüs değerinin, ikinci üçgende bütünler açı kuralı (−cos⁡(α)-\cos(\alpha)) ile yerine yazılması ve Kosinüs Teoremi'nin ikinci kez doğru bir şekilde uygulanmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde m(ADB^)=αm(\widehat{ADB}) = \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\alpha)
62=42+52−2⋅4⋅5⋅cos⁡(α)6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha)
36=16+25−40cos⁡(α)36 = 16 + 25 - 40\cos(\alpha)
40cos⁡(α)=5  ⟹  cos⁡(α)=1840\cos(\alpha) = 5 \implies \cos(\alpha) = \frac{1}{8}
Bilinmeyen ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulmak için komşu BDCBDC üçgeninde kullanılacak açının kosinüs değerini elde etmek.
2
AA, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡(α)=−18\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) = -\frac{1}{8}
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olması kuralını uygulamak.
3
BCDBCD üçgeninde m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣BC∣=x|BC| = x uzunluğu hesaplanır.
x2=∣BD∣2+∣CD∣2−2⋅∣BD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(180∘−α)x^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos(180^\circ - \alpha)
x2=52+52−2⋅5⋅5⋅(−18)x^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)
x2=25+25+508=50+254=2254x^2 = 25 + 25 + \frac{50}{8} = 50 + \frac{25}{4} = \frac{225}{4}
x=2254=152x = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}
BCDBCD üçgeninin iki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilindiğinden Kosinüs Teoremi ile üçüncü kenarı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir. Ayrıca doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüs değerleri birbirinin zıt işaretlisidir.

Alternatif Yöntem

Bu soru Stewart Teoremi kullanılarak da çözülebilir. Stewart Teoremi formülü:

∣BD∣2=∣AB∣2⋅∣DC∣+∣BC∣2⋅∣AD∣∣AC∣−∣AD∣⋅∣DC∣|BD|^2 = \frac{|AB|^2 \cdot |DC| + |BC|^2 \cdot |AD|}{|AC|} - |AD| \cdot |DC|

Değerler formülde yerine yazılırsa:

52=62⋅5+x2⋅49−4⋅55^2 = \frac{6^2 \cdot 5 + x^2 \cdot 4}{9} - 4 \cdot 5
25=180+4x29−2025 = \frac{180 + 4x^2}{9} - 20
45=180+4x2945 = \frac{180 + 4x^2}{9}
405=180+4x2  ⟹  4x2=225  ⟹  x=152405 = 180 + 4x^2 \implies 4x^2 = 225 \implies x = \frac{15}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru