Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKosinüs Teoremi

Bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir küpün köşeleri AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG, HH olarak adlandırılmıştır. Bu küpte ABCDABCD taban yüzeyi, EFGHEFGH ise bu yüzeyin üzerindeki tavan yüzeyidir (EE köşesi AA'nın, FF köşesi BB'nin, GG köşesi CC'nin ve HH köşesi DD'nin üzerindedir).

Küpün ADHEADHE yan yüzeyi üzerinde bir PP noktası; AEAE ayrıtına 3 birim, ADAD ayrıtına 2 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.
Küpün CDHGCDHG yan yüzeyi üzerinde bir QQ noktası; CGCG ayrıtına 2 birim, CDCD ayrıtına 3 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) değeri kaçtır?

Cevap: 36

Cevap

İstenen 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) ifadesinin değeri 36'dır.
Küp üzerinde koordinatlar doğru yerleştirildiğinde kenar uzunlukları BP=7BP=7, BQ=7BQ=7 ve PQ=26PQ=\sqrt{26} olarak bulunur. PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(PBQ^)=36/49\cos(\widehat{PBQ}) = 36/49 elde edilir. Bu değer 49 ile çarpıldığında sonuç 36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirme
BB köşesi başlangıç noktası (0,0,0)(0,0,0) olarak seçilir. Bu durumda BABA doğrusu xx ekseni, BCBC doğrusu yy ekseni ve BFBF doğrusu zz ekseni üzerindedir. Böylece küpün köşeleri A(6,0,0)A(6,0,0), C(0,6,0)C(0,6,0), D(6,6,0)D(6,6,0), E(6,0,6)E(6,0,6), F(0,0,6)F(0,0,6), G(0,6,6)G(0,6,6) ve H(6,6,6)H(6,6,6) olur.
Noktaların konumlarını ve aralarındaki uzaklıkları analitik olarak kolayca hesaplayabilmek için
2
PP ve QQ noktalarının koordinatlarını belirleme
PP noktası x=6x=6 düzleminde (ADHEADHE yüzeyi) yer alır. AEAE doğrusuna (x=6,y=0x=6, y=0) uzaklığı 3 birim olduğundan yy-koordinatı 3'tür. ADAD doğrusuna (x=6,z=0x=6, z=0) uzaklığı 2 birim olduğundan zz-koordinatı 2'dir. Buradan P(6,3,2)P(6,3,2) bulunur. Benzer şekilde, QQ noktası y=6y=6 düzleminde (CDHGCDHG yüzeyi) yer alır. CGCG doğrusuna (x=0,y=6x=0, y=6) uzaklığı 2 birim olduğundan xx-koordinatı 2'dir. CDCD doğrusuna (y=6,z=0y=6, z=0) uzaklığı 3 birim olduğundan zz-koordinatı 3'tür. Buradan Q(2,6,3)Q(2,6,3) bulunur.
Verilen sözel uzaklık tanımlarını koordinat değerlerine dönüştürerek noktaların yerlerini kesinleştirmek için
3
BPBP, BQBQ ve PQPQ doğru parçalarının uzunluklarını hesaplama
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır:
BP=(6−0)2+(3−0)2+(2−0)2=36+9+4=49=7BP = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 birim.
BQ=(2−0)2+(6−0)2+(3−0)2=4+36+9=49=7BQ = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 birim.
PQ=(6−2)2+(3−6)2+(2−3)2=42+(−3)2+(−1)2=16+9+1=26PQ = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+9+1} = \sqrt{26} birim.
Kosinüs Teoremi'ni uygulayabilmek için üçgenin üç kenar uzunluğunu elde etmek amacıyla
4
PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulama
PQ2=BP2+BQ2−2⋅BP⋅BQ⋅cos⁡(PBQ^)PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\widehat{PBQ})
(26)2=72+72−2⋅7⋅7⋅cos⁡(PBQ^)(\sqrt{26})^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=49+49−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 49 + 49 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=98−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 98 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
98⋅cos⁡(PBQ^)=72  ⟹  cos⁡(PBQ^)=7298=364998 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 72 \implies \cos(\widehat{PBQ}) = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}
Açının kosinüs değerini kenar uzunlukları arasındaki bağıntı yardımıyla bulmak için
5
İstenen nihai değeri hesaplama
49⋅cos⁡(PBQ^)=49⋅3649=3649 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 49 \cdot \frac{36}{49} = 36 elde edilir.
Soruda yöneltilen özel ifadenin değerini hesaplamak için

Anahtar Kavram

Üç boyutlu uzayda Kosinüs Teoremi ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru