Examkin

Kosinüs Teoremi

30 soru

Tüm türler30Çoktan seçmeli15Sayısal15
Soru 1Soru →

Bir ABCDABCD konveks dörtgeninde [AC][AC] köşegendir. ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim}, m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ ve m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur. ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ise x2−5x−24=0x^2 - 5x - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü 88 olduğundan ∣CD∣|CD| uzunluğu 8 birim8\text{ birim} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AC∣|AC| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(120^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında ∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−1/2)=9+25+15=49|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 elde edilir.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
x=8 birimx = 8\text{ birim}
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2∣AD∣∣CD∣cos⁡(60∘)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2|AD||CD|\cos(60^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında 72=52+x2−2⋅5⋅x⋅(1/2)  ⟹  49=25+x2−5x  ⟹  x2−5x−24=07^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot (1/2) \implies 49 = 25 + x^2 - 5x \implies x^2 - 5x - 24 = 0 elde edilir. Bu denklem (x−8)(x+3)=0(x-8)(x+3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Uzunluk negatif olamayacağından x=8x = 8 bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi'nin ardışık iki üçgende uygulanması ve elde edilen denklemin çözülmesi

Alternatif Yöntem

ADCADC üçgeninde CC köşesinden [AD][AD] kenarına dikme indirilerek 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel üçgeni ve Pisagor teoremi yardımıyla da ∣CD∣|CD| uzunluğu hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [AC][AC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AD∣=4 birim|AD| = 4\text{ birim}
∣BD∣=∣DC∣=5 birim|BD| = |DC| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 152\frac{15}{2}

Cevap

15/2 birim
Doğru olan 15/2 değeri, birinci üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak elde edilen kosinüs değerinin, ikinci üçgende bütünler açı kuralı (−cos⁡(α)-\cos(\alpha)) ile yerine yazılması ve Kosinüs Teoremi'nin ikinci kez doğru bir şekilde uygulanmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde m(ADB^)=αm(\widehat{ADB}) = \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\alpha)
62=42+52−2⋅4⋅5⋅cos⁡(α)6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha)
36=16+25−40cos⁡(α)36 = 16 + 25 - 40\cos(\alpha)
40cos⁡(α)=5  ⟹  cos⁡(α)=1840\cos(\alpha) = 5 \implies \cos(\alpha) = \frac{1}{8}
Bilinmeyen ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulmak için komşu BDCBDC üçgeninde kullanılacak açının kosinüs değerini elde etmek.
2
AA, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡(α)=−18\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) = -\frac{1}{8}
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olması kuralını uygulamak.
3
BCDBCD üçgeninde m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣BC∣=x|BC| = x uzunluğu hesaplanır.
x2=∣BD∣2+∣CD∣2−2⋅∣BD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(180∘−α)x^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos(180^\circ - \alpha)
x2=52+52−2⋅5⋅5⋅(−18)x^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)
x2=25+25+508=50+254=2254x^2 = 25 + 25 + \frac{50}{8} = 50 + \frac{25}{4} = \frac{225}{4}
x=2254=152x = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}
BCDBCD üçgeninin iki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilindiğinden Kosinüs Teoremi ile üçüncü kenarı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir. Ayrıca doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüs değerleri birbirinin zıt işaretlisidir.

Alternatif Yöntem

Bu soru Stewart Teoremi kullanılarak da çözülebilir. Stewart Teoremi formülü:

∣BD∣2=∣AB∣2⋅∣DC∣+∣BC∣2⋅∣AD∣∣AC∣−∣AD∣⋅∣DC∣|BD|^2 = \frac{|AB|^2 \cdot |DC| + |BC|^2 \cdot |AD|}{|AC|} - |AD| \cdot |DC|

Değerler formülde yerine yazılırsa:

52=62⋅5+x2⋅49−4⋅55^2 = \frac{6^2 \cdot 5 + x^2 \cdot 4}{9} - 4 \cdot 5
25=180+4x29−2025 = \frac{180 + 4x^2}{9} - 20
45=180+4x2945 = \frac{180 + 4x^2}{9}
405=180+4x2  ⟹  4x2=225  ⟹  x=152405 = 180 + 4x^2 \implies 4x^2 = 225 \implies x = \frac{15}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Kenar uzunlukları ∣AB∣=7 birim|AB| = 7\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} olan bir ABCABC üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası belirleniyor.

∣BD∣=2 birim|BD| = 2\text{ birim} olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AD uzunluğu 7 birimdir.
Doğru cevap 7'dir. İlk olarak büyük ABCABC üçgeninde tüm kenarlar bilindiği için Kosinüs Teoremi ile CC açısının kosinüsü 12\frac{1}{2} olarak bulunur. Ardından DD noktası [BC][BC] kenarını 22 ve 33 birimlik iki parçaya ayırdığı için, ACDACD üçgeninde kenarlar 88 birim ve 33 birim, aralarındaki açının kosinüsü ise 12\frac{1}{2} olur. Bu üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AD∣=7|AD| = 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(C^)\cos(\widehat{C}) değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣BC∣2+∣AC∣2−2⋅∣BC∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
72=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(C^)7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\widehat{C})
49=25+64−80⋅cos⁡(C^)49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\widehat{C})
80⋅cos⁡(C^)=40⇒cos⁡(C^)=1280 \cdot \cos(\widehat{C}) = 40 \Rightarrow \cos(\widehat{C}) = \frac{1}{2} (Buradan m(C^)=60∘m(\widehat{C}) = 60^\circ bulunur.)
ACDACD üçgeninde ∣AD∣|AD| uzunluğunu hesaplayabilmek için bu iki üçgenin ortak açısı olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
ACDACD üçgeninde [AD][AD] kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣CD∣2+∣AC∣2−2⋅∣CD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AD|^2 = |CD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
Burada ∣CD∣=∣BC∣−∣BD∣=5−2=3 birim|CD| = |BC| - |BD| = 5 - 2 = 3\text{ birim}'dir.
∣AD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅12|AD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
∣AD∣2=9+64−24=49|AD|^2 = 9 + 64 - 24 = 49
∣AD∣=7 birim|AD| = 7\text{ birim} bulunur.
ACDACD üçgeninin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüs değeri bilindiğinden, bilinmeyen üçüncü kenar doğrudan hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla bir üçgende bilinmeyen kenar uzunluğunun hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kestiğine göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 247\frac{24}{7}

Cevap

24 bölü 7
İç açıortay teoremi uyarınca köşeden çizilen açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranı olan 6/8 = 3/4 oranında böler. Açıortay açıyı 60 derecelik iki eş açıya böldüğünden, oluşan iki alt üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ortak bilinmeyenler sadeleşerek doğru uzunluk 24 bölü 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını yazma
|BD| / |CD| = |AB| / |AC| = 6/8 = 3/4. Buradan |BD| = 3k ve |CD| = 4k belirlenir.
Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir.
2
Kosinüs Teoremini ABD ve ACD üçgenlerinde AD = x için uygulama
ABD üçgeninde: 9k^2 = 36 + x^2 - 6x. ACD üçgeninde: 16k^2 = 64 + x^2 - 8x.
Açıortay açıyı iki eşit 60 derecelik açıya böldüğü için her iki üçgende de cos(60) = 1/2 kullanılarak bağıntılar yazılır.
3
Denklemleri ortak çözerek x değerini yalnız bırakma
16(36 + x^2 - 6x) = 9(64 + x^2 - 8x) ise 7x^2 = 24x ve x = 24/7 bulunur.
k^2 terimini yok etmek için denklemler uygun katsayılarla çarpılıp eşitlenir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoreminin birlikte uygulanması
Soru 5Soru →

Şekildeki ABCDABCD kirişler dörtgeninde [AC][AC] köşegendir.

∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim},
∣BC∣=1 birim|BC| = 1\text{ birim},
∣CD∣=4 birim|CD| = 4\text{ birim} ve
∣DA∣=5 birim|DA| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21\sqrt{21}

Cevap

Köşegen uzunluğu 21\sqrt{21} birimdir.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(ADC^)=αm(\widehat{ADC}) = \alpha iken m(ABC^)=180∘−αm(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha olur. Kosinüs Teoremi her iki üçgene uygulandığında sırasıyla ∣AC∣2=41−40cos⁡α|AC|^2 = 41 - 40\cos\alpha ve ∣AC∣2=17+8cos⁡α|AC|^2 = 17 + 8\cos\alpha (çünkü cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha) denklemleri elde edilir. Bu iki denklem eşitlendiğinde 48cos⁡α=2448\cos\alpha = 24 ve buradan cos⁡α=1/2\cos\alpha = 1/2 bulunur. Bulunan değer yerine yerleştirildiğinde köşegen uzunluğunun karesi 2121 birimkare, kendisi ise kök 21 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kirişler dörtgeninin özelliğini kullanarak karşılıklı açıları tanımlamak.
m(ADC^)=αm(\widehat{ADC}) = \alpha olsun. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(ABC^)=180∘−αm(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha olur.
Karşılıklı açıların toplamının 180∘180^\circ olması, trigonometrik indirgemede birbirini bütünleyen açıların kosinüs değerlerinin zıt işaretli olmasını sağlar.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅cos⁡α=41−40cos⁡α|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos\alpha = 41 - 40\cos\alpha
Köşegen uzunluğunu α\alpha açısı cinsinden ifade etmek için kenar uzunlukları 55 ve 44 olan ��çgende teorem uygulanır.
3
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak ve bütünler açı indirgemesini yapmak.
∣AC∣2=42+12−2⋅4⋅1⋅cos⁡(180∘−α)=17−8(−cos⁡α)=17+8cos⁡α|AC|^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 17 - 8(-\cos\alpha) = 17 + 8\cos\alpha
İkinci bölgedeki bir açının kosinüsünün zıt işaretlisine e��it olmasından dolayı, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha eşitliği kullanılır.
4
Elde edilen iki farklı ∣AC∣2|AC|^2 ifadesini birbirine eşitleyerek cos⁡α\cos\alpha değerini bulmak.
41−40cos⁡α=17+8cos⁡α⇒24=48cos⁡α⇒cos⁡α=1241 - 40\cos\alpha = 17 + 8\cos\alpha \Rightarrow 24 = 48\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}
Aynı köşegen uzunluğunun iki farklı ifadesi eşitlenerek bilinmeyen açının kosinüsüne ulaşılır.
5
Bulunan kosinüs değerini denklemlerden birinde yerine yazıp köşegen uzunluğunu hesaplamak.
∣AC∣2=41−40⋅(12)=41−20=21⇒∣AC∣=21|AC|^2 = 41 - 40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 41 - 20 = 21 \Rightarrow |AC| = \sqrt{21}
Köşegen uzunluğunun karesi olan 2121 değerinin karekökü alınarak nihai sonuca varılır.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler olması özelliğinin Kosinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme kuralları ile birleştirilmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 6Soru →

Bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir küpün köşeleri AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG, HH olarak adlandırılmıştır. Bu küpte ABCDABCD taban yüzeyi, EFGHEFGH ise bu yüzeyin üzerindeki tavan yüzeyidir (EE köşesi AA'nın, FF köşesi BB'nin, GG köşesi CC'nin ve HH köşesi DD'nin üzerindedir).

Küpün ADHEADHE yan yüzeyi üzerinde bir PP noktası; AEAE ayrıtına 3 birim, ADAD ayrıtına 2 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.
Küpün CDHGCDHG yan yüzeyi üzerinde bir QQ noktası; CGCG ayrıtına 2 birim, CDCD ayrıtına 3 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

İstenen 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) ifadesinin değeri 36'dır.
Küp üzerinde koordinatlar doğru yerleştirildiğinde kenar uzunlukları BP=7BP=7, BQ=7BQ=7 ve PQ=26PQ=\sqrt{26} olarak bulunur. PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(PBQ^)=36/49\cos(\widehat{PBQ}) = 36/49 elde edilir. Bu değer 49 ile çarpıldığında sonuç 36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirme
BB köşesi başlangıç noktası (0,0,0)(0,0,0) olarak seçilir. Bu durumda BABA doğrusu xx ekseni, BCBC doğrusu yy ekseni ve BFBF doğrusu zz ekseni üzerindedir. Böylece küpün köşeleri A(6,0,0)A(6,0,0), C(0,6,0)C(0,6,0), D(6,6,0)D(6,6,0), E(6,0,6)E(6,0,6), F(0,0,6)F(0,0,6), G(0,6,6)G(0,6,6) ve H(6,6,6)H(6,6,6) olur.
Noktaların konumlarını ve aralarındaki uzaklıkları analitik olarak kolayca hesaplayabilmek için
2
PP ve QQ noktalarının koordinatlarını belirleme
PP noktası x=6x=6 düzleminde (ADHEADHE yüzeyi) yer alır. AEAE doğrusuna (x=6,y=0x=6, y=0) uzaklığı 3 birim olduğundan yy-koordinatı 3'tür. ADAD doğrusuna (x=6,z=0x=6, z=0) uzaklığı 2 birim olduğundan zz-koordinatı 2'dir. Buradan P(6,3,2)P(6,3,2) bulunur. Benzer şekilde, QQ noktası y=6y=6 düzleminde (CDHGCDHG yüzeyi) yer alır. CGCG doğrusuna (x=0,y=6x=0, y=6) uzaklığı 2 birim olduğundan xx-koordinatı 2'dir. CDCD doğrusuna (y=6,z=0y=6, z=0) uzaklığı 3 birim olduğundan zz-koordinatı 3'tür. Buradan Q(2,6,3)Q(2,6,3) bulunur.
Verilen sözel uzaklık tanımlarını koordinat değerlerine dönüştürerek noktaların yerlerini kesinleştirmek için
3
BPBP, BQBQ ve PQPQ doğru parçalarının uzunluklarını hesaplama
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır:
BP=(6−0)2+(3−0)2+(2−0)2=36+9+4=49=7BP = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 birim.
BQ=(2−0)2+(6−0)2+(3−0)2=4+36+9=49=7BQ = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 birim.
PQ=(6−2)2+(3−6)2+(2−3)2=42+(−3)2+(−1)2=16+9+1=26PQ = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+9+1} = \sqrt{26} birim.
Kosinüs Teoremi'ni uygulayabilmek için üçgenin üç kenar uzunluğunu elde etmek amacıyla
4
PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulama
PQ2=BP2+BQ2−2⋅BP⋅BQ⋅cos⁡(PBQ^)PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\widehat{PBQ})
(26)2=72+72−2⋅7⋅7⋅cos⁡(PBQ^)(\sqrt{26})^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=49+49−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 49 + 49 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=98−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 98 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
98⋅cos⁡(PBQ^)=72  ⟹  cos⁡(PBQ^)=7298=364998 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 72 \implies \cos(\widehat{PBQ}) = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}
Açının kosinüs değerini kenar uzunlukları arasındaki bağıntı yardımıyla bulmak için
5
İstenen nihai değeri hesaplama
49⋅cos⁡(PBQ^)=49⋅3649=3649 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 49 \cdot \frac{36}{49} = 36 elde edilir.
Soruda yöneltilen özel ifadenin değerini hesaplamak için

Anahtar Kavram

Üç boyutlu uzayda Kosinüs Teoremi ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü
Soru 7Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ, ∣AB∣=5 birim|AB| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} dir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC uzunluğu 7 birimdir.
Kosinüs teoremi doğrudan uygulanarak 82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡60∘8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ işleminden ∣BC∣2=49|BC|^2 = 49 elde edilir. Buradan ∣BC∣=7|BC| = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünü belirleme
∣BC∣2=∣AC∣2+∣AB∣2−2∣AC∣∣AB∣cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2|AC||AB|\cos(\widehat{BAC})
Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Bilinen değerleri formüle yerleştirme
∣BC∣2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(60∘)|BC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)
Verilen ∣AC∣=8|AC| = 8, ∣AB∣=5|AB| = 5 ve m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ değerlerini formülde yerine koymak gerekir.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
∣BC∣2=64+25−40=49⇒∣BC∣=7|BC|^2 = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow |BC| = 7
cos⁡(60∘)=0.5\cos(60^\circ) = 0.5 değeri kullanılarak cebirsel işlemler yapılır ve karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 8Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, ∣AB∣=5 birim|AB| = 5\text{ birim}, ∣AC∣=3 birim|AC| = 3\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC kenarının uzunluğu 7 birimdir.
Kosinüs teoremi denkleminde 120∘120^\circ'lik açının kosinüsü −1/2-1/2 olarak yerine yazıldığında, iki negatif işaret birbirini artıya dönüştürür ve ∣BC∣2=49|BC|^2 = 49 elde edilir. Karekökü alındığında kenar uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünü kurma
∣BC∣2=∣AB∣2+∣AC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC})
İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilen bir üçgende karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Değerleri formüle yerleştirme ve trigonometrik değeri belirleme
∣BC∣2=52+32−2⋅5⋅3⋅(−1/2)|BC|^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-1/2)
∣AB∣=5|AB|=5, ∣AC∣=3|AC|=3, m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC})=120^\circ ve cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değerleri yerine yazılır.
3
İşlemleri tamamlayarak uzunluğu hesaplama
∣BC∣2=25+9+15=49  ⟹  ∣BC∣=7|BC|^2 = 25 + 9 + 15 = 49 \implies |BC| = 7
Negatif işaretlerin çarpımından artı işareti elde edilir ve karekök alınarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3|AB| = 3 birim, ∣BC∣=5|BC| = 5 birim ve ∣AC∣=7|AC| = 7 birimdir. BCBC doğrusu üzerinde, CC noktası BB ile DD arasında kalacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

∣AD∣=97|AD| = \sqrt{97} birim olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru yanıt 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nin iki farklı üçgende ardışık olarak doğru işaretlerle uygulanmasıyla elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde pozitif kök 3 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi yazılır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(ACB^)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{ACB}) formülü oluşturulur.
CC açısının kosinüs değerini bularak bütünler açısının kosinüsüne geçiş yapmak.
2
Verilen uzunluklar formülde yerine koyulur.
32=72+52−2⋅7⋅5⋅cos⁡(ACB^)  ⟹  9=74−70cos⁡(ACB^)  ⟹  cos⁡(ACB^)=13143^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ACB}) \implies 9 = 74 - 70 \cos(\widehat{ACB}) \implies \cos(\widehat{ACB}) = \frac{13}{14} bulunur.
CC açısının kosinüs değerini hesaplamak.
3
B,C,DB, C, D noktaları doğrusal olduğundan, ACB^\widehat{ACB} ile ACD^\widehat{ACD} açılarının bütünler olduğu belirlenir ve cos⁡(ACD^)\cos(\widehat{ACD}) değeri yazılır.
cos⁡(ACD^)=−cos⁡(ACB^)=−1314\cos(\widehat{ACD}) = -\cos(\widehat{ACB}) = -\frac{13}{14} elde edilir.
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olmasından faydalanarak yan taraftaki üçgende Kosinüs Teoremi'ni kullanıma hazırlamak.
4
ACDACD üçgeninde ∣CD∣=x|CD| = x kabul edilerek Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣AC∣2+x2−2⋅∣AC∣⋅x⋅cos⁡(ACD^)  ⟹  97=49+x2−2⋅7⋅x⋅(−1314)  ⟹  97=49+x2+13x|AD|^2 = |AC|^2 + x^2 - 2 \cdot |AC| \cdot x \cdot \cos(\widehat{ACD}) \implies 97 = 49 + x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot \left(-\frac{13}{14}\right) \implies 97 = 49 + x^2 + 13x denklemi elde edilir.
xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek.
5
Elde edilen x2+13x−48=0x^2 + 13x - 48 = 0 denklemi çözülür.
(x+16)(x−3)=0  ⟹  x=3(x + 16)(x - 3) = 0 \implies x = 3 veya x=−16x = -16 bulunur. Uzunluk negatif olamayacağından x=3x = 3 birimdir.
CDCD uzunluğunu kesin olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Bütünler açıların kosinüs değerleri arasındaki zıt işaret ilişkisi ve Kosinüs Teoremi'nin ardışık olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

ABCABC üçgeninde BB açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(B^)=−1/2\cos(\widehat{B}) = -1/2 bulunur. Buradan ABDABD üçgeninde ∣BD∣=5+x|BD| = 5+x yazılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve x=3x = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 10Soru →

Bir KLMKLM üçgeninde LL köşesindeki iç açının ölçüsü 120∘120^\circ dir. Bu köşeyi oluşturan kenarların uzunlukları ∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim} ve ∣LM∣=8 birim|LM| = 8\text{ birim} olduğuna göre, KMKM kenarının uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

KM kenarının uzunluğu 13 birimdir.
Kosinüs teoremi gereği, bilinmeyen kenarın karesi, bilinen kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazılarak yapılan hesaplamada x2=49+64−112⋅(−1/2)=169x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot (-1/2) = 169 eşitliğinden x=13x = 13 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünü yazıp verilen değerleri yerleştirmek.
x2=∣KL∣2+∣LM∣2−2⋅∣KL∣⋅∣LM∣⋅cos⁡(m(KLM^))x^2 = |KL|^2 + |LM|^2 - 2 \cdot |KL| \cdot |LM| \cdot \cos(m(\widehat{KLM}))
Üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Verilen kenar uzunluklarını ve açının kosinüs değerini yerine yazmak.
x2=72+82−2⋅7⋅8⋅cos⁡(120∘)x^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)
Soruda verilen ∣KL∣=7|KL| = 7, ∣LM∣=8|LM| = 8 ve açı değeri 120∘120^\circ bağıntıda yerlerine konur.
3
120∘120^\circ açısının kosinüs değerini hesaplamak.
cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
120∘120^\circ açısı ikinci bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatiftir.
4
İşlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak.
x2=49+64−112⋅(−12)=113+56=169⇒x=13x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169 \Rightarrow x = 13
Elde edilen denklemin karekökü alınarak uzunluk değeri pozitif olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} dir. Buna göre, AA köşesindeki iç açının kosinüsü olan cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

A açısının kosinüs değeri 0,75'tir.
Kosinüs teoremi doğrudan uygulandığında, açının karşısındaki kenar olan 4 birimin karesi, diğer kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katının kosinüs değeriyle çarpımının çıkarılmasına eşittir. Bu denklem çözüldüğünde kosinüs değeri 0,75 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünde verilen kenar uzunluklarını yerleştirmek
42=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(BAC^)4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{BAC})
Açının karşısındaki kenarın karesi, komşu kenarların kareleri toplamı ile bu kenarların çarpımının iki katının aradaki açının kosinüsüyle çarpımının farkına eşittir.
2
Üslü ifadeleri hesaplamak ve denklemi sadeleştirmek
16=61−60⋅cos⁡(BAC^)16 = 61 - 60 \cdot \cos(\widehat{BAC})
Sayısal işlemleri yaparak denklemi çözülebilir hale getirmek.
3
Bilinmeyen kosinüs ifadesini yalnız bırakmak
cos⁡(BAC^)=0,75\cos(\widehat{BAC}) = 0,75
Denklemi çözerek cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 12Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. Bu üçgende AA açısının iç açıortay doğrusu BCBC kenarını DD noktasında kesmektedir. Buna göre, ADAD açıortay doğrusunun uzunluğu (∣AD∣|AD|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Açıortay doğrusunun uzunluğu 2 birimdir.
İç açıortay teoremi ile taban bölme oranları belirlendikten sonra, büyük üçgende 120∘120^\circ kullanılarak Kosinüs teoremiyle kenar uzunlukları tam olarak bulunur. Ardından ABDABD ve ADCADC üçgenlerinde 60∘60^\circ açıları kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla ortak uzunluk olan 2 birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak tabandaki parçaların oranını bulunuz.
∣BD∣=k|BD| = k ve ∣DC∣=2k|DC| = 2k (∣BC∣=3k|BC| = 3k)
İç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.
2
ABCABC üçgeninde AA açısına göre Kosinüs teoremi uygulayarak kk değerini hesaplayınız.
9k2=9+36−36⋅cos⁡(120∘)  ⟹  9k2=63  ⟹  k=79k^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = 63 \implies k = \sqrt{7}
BCBC kenar uzunluğunu ve buna bağlı olarak tabandaki parçaların gerçek uzunluklarını bulmak için Kosinüs teoremi gereklidir.
3
ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak ∣AD∣=x|AD| = x için bir denklem elde ediniz.
x2−3x+2=0  ⟹  x=1x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2
ADAD açıortayı açıyı 60∘−60∘60^\circ - 60^\circ olarak ikiye böler, bu durum ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremi yazmayı sağlar.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak elde edilen xx değerlerini doğrulayınız.
x2−6x+8=0  ⟹  x=2x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4. Ortak kök x=2x = 2 olarak bulunur.
Farklı iki üçgende de geçerli olan tek bir fiziksel uzunluk değeri bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoremi İlişkisi
Soru 13Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin kenarları arasında
a2−b2=c2+bca^2 - b^2 = c^2 + bc
bağıntısı bulunmaktadır.

AA köşesinden çizilen iç açıortay doğrusunun uzunluğu 3011\frac{30}{11} birim ve b⋅c=30b \cdot c = 30 olduğuna göre, aa kenarının uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 91\sqrt{91}

Cevap

akenarınınuzunlug˘u91birimdir.a kenarının uzunluğu \sqrt{91} birimdir.
Verilen bağıntı kosinüs teoremi ile karşılaştırıldığında tepe açısının 120∘120^\circ olduğu anlaşılır. Üçgenin alanlarının toplamı prensibinden iç açıortay uzunluk formülü nA=bcb+cn_A = \frac{bc}{b+c} olarak elde edilir. Bu formülde verilen değerler yerine konulduğunda b+c=11b+c = 11 bulunur. (b+c)2=b2+c2+2bc(b+c)^2 = b^2+c^2+2bc özdeşliğinden yararlanılarak b2+c2=61b^2+c^2 = 61 hesaplanır. Son olarak, baştaki bağıntıda değerler yerine yazıldığında a=91a = \sqrt{91} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kenar bağıntısını kosinüs teoremi ile karşılaştırarak A açısını belirlemek.
a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Kosinüs teoremi formülü olan a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) ifadesi ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(A)=1  ⟹  cos⁡(A)=−1/2-2\cos(A) = 1 \implies \cos(A) = -1/2 bulunur. Buradan A=120∘A = 120^\circ elde edilir.
Üçgenin tepe açısının trigonometrik değerini saptamak.
2
Açıortay uzunluğu ile kenarlar arasındaki ilişkiyi alan paylaşımı yoluyla türetmek.
Alan(ABC)=Alan(ABD)+Alan(ACD)  ⟹  12bcsin⁡(120∘)=12b⋅nAsin⁡(60∘)+12c⋅nAsin⁡(60∘)\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(ACD) \implies \frac{1}{2}bc\sin(120^\circ) = \frac{1}{2}b \cdot n_A \sin(60^\circ) + \frac{1}{2}c \cdot n_A \sin(60^\circ) yazılır. sin⁡(120∘)=sin⁡(60∘)\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) olduğundan sadeleşme ile bc=nA(b+c)  ⟹  nA=bcb+cbc = n_A(b+c) \implies n_A = \frac{bc}{b+c} bağıntısı bulunur.
Açıortay doğrusunun böldüğü alanlar üzerinden kenarlar arasında bir bağıntı kurmak.
3
Verilen değerleri yerine yazarak b + c toplamını hesaplamak.
bc=30bc = 30 ve nA=3011n_A = \frac{30}{11} değerleri yerleştirildiğinde 3011=30b+c  ⟹  b+c=11\frac{30}{11} = \frac{30}{b+c} \implies b+c = 11 bulunur.
Kenarların toplam değerini elde ederek kareler toplamına geçiş yapmak.
4
Tam kare açılımı kullanarak b2+c2b^2+c^2 değerini bulmak.
(b+c)2=b2+c2+2bc  ⟹  112=b2+c2+2(30)  ⟹  121=b2+c2+60  ⟹  b2+c2=61(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc \implies 11^2 = b^2 + c^2 + 2(30) \implies 121 = b^2 + c^2 + 60 \implies b^2 + c^2 = 61 elde edilir.
Kosinüs teoremi bağıntısında kullanılacak kareler toplamını hesaplamak.
5
Bulunan değerleri ilk adımdaki bağıntıda yerine yazarak a değerini hesaplamak.
a2=b2+c2+bc  ⟹  a2=61+30=91  ⟹  a=91a^2 = b^2 + c^2 + bc \implies a^2 = 61 + 30 = 91 \implies a = \sqrt{91} birim bulunur.
İstenen kenar uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi, Üçgende Alan Paylaşımı ve İç Açıortay İlişkisi
Soru 14Soru →

Bir ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣DC∣=4 birim|DC| = 4\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim} olduğuna göre, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Köşegen uzunluğu 7 birimdir.
Yamuğun üst köşesinden yan kenara çizilen paralel doğru sayesinde elde edilen üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak açının kosinüsü bir bölü beş bulunur. Yamuktaki ardışık açıların bütünler olmasından yola çıkılarak geniş açının kosinüsü eksi bir bölü beş olarak belirlenir. Son olarak üstteki üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanmasıyla köşegen uzunluğu net bir şekilde yedi birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
[CE]∥[AD][CE] \parallel [AD] olacak şekilde EE noktası [AB][AB] üzerinde belirlenir.
AECDAECD paralelkenarı ve CEBCEB üçgeni oluşur. Buradan ∣AE∣=4 birim|AE| = 4\text{ birim}, ∣CE∣=5 birim|CE| = 5\text{ birim} ve ∣EB∣=6 birim|EB| = 6\text{ birim} bulunur.
Yamuk sorularında paralel kenar çizmek, Kosinüs Teoremini uygulayabileceğimiz bir üçgen elde etmemizi sağlar.
2
CEBCEB üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
72=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(CEB^)7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{CEB}) denkleminden cos⁡(CEB^)=15\cos(\widehat{CEB}) = \frac{1}{5} bulunur.
Üç kenarı bilinen bir üçgende açının kosinüs değerini belirlemek için Kosinüs Teoremi en uygun yöntemdir.
3
ADCADC açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−CEB^)=−cos⁡(CEB^)=−15\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{CEB}) = -\cos(\widehat{CEB}) = -\frac{1}{5} elde edilir.
Yamuğun paralel kenarları arasındaki ardışık açılar bütünler olduğundan açılardan birinin kosinüsü diğerinin kosinüsünün zıt işaretlisine eşittir.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅(−15)=25+16+8=49|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 25 + 16 + 8 = 49, buradan ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur.
İki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde bilinmeyen üçüncü kenarı bulmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Yamuk içinde paralel doğru yardımıyla üçgen oluşturma ve bütünler açıların kosinüs ilişkisini Kosinüs Teoremi ile birleştirme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Aşağıdaki şekilde ABCDABCD kirişler dörtgeni ve bu dörtgenin bazı kenar uzunlukları verilmiştir.

Buna g��re, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AC köşegeninin uzunluğu 7 birimdir.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180∘180^\circ olduğundan cos⁡(ADC^)=−cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ADC}) = -\cos(\widehat{ABC}) olur. Her iki üçgende de Kosinüs Teoremi uygulanıp ortak AC2AC^2 ifadesi eşitlendiğinde cos⁡(ABC^)=−1/2\cos(\widehat{ABC}) = -1/2 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında AC2=49AC^2 = 49 ve AC=7AC = 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamının 180∘180^\circ olduğu özelliğini kullanarak a��ılar arasında ilişki kurma.
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta ise m(ADC^)=180∘−θm(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \theta olur. Dolayısıyla cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡(θ)\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta) eşitliği elde edilir.
Kosinüs teoremini iki farklı üçgende ortak olan ACAC kenarı için uygulayabilmek.
2
ABCABC ve ADCADC üçgenlerinde ACAC kenarı için Kosinüs Teoremi formüllerini yazma.
ABCABC üçgeninde: AC2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(θ)=34−30cos⁡(θ)AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\theta) = 34 - 30\cos(\theta)
ADCADC üçgeninde: AC2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(180∘−θ)=89+80cos⁡(θ)AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 89 + 80\cos(\theta)
AC2AC^2 ifadesini iki farklı şekilde ifade ederek cos⁡(θ)\cos(\theta) değerini bulmak.
3
Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek cos⁡(θ)\cos(\theta) değerini hesaplama.
34−30cos⁡(θ)=89+80cos⁡(θ)  ⟹  110cos⁡(θ)=−55  ⟹  cos⁡(θ)=−1/234 - 30\cos(\theta) = 89 + 80\cos(\theta) \implies 110\cos(\theta) = -55 \implies \cos(\theta) = -1/2
AC2AC^2 değerini bulmak için gerekli olan trigonometrik oranı elde etmek.
4
Bulunan cos⁡(θ)=−1/2\cos(\theta) = -1/2 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak ACAC uzunluğunu hesaplama.
AC2=34−30⋅(−1/2)=34+15=49  ⟹  AC=7AC^2 = 34 - 30 \cdot (-1/2) = 34 + 15 = 49 \implies AC = 7 birim.
İstenen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler (180∘180^\circ a tamamlayan) olması ve Kosinüs Teoremi ile indirgeme formüllerinin uygulanması.
Soru 16Soru →

Şekildeki konveks ABCDABCD dörtgeninde;
∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim},
∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim},
∣CD∣=3 birim|CD| = 3\text{ birim},
∣DA∣=8 birim|DA| = 8\text{ birim} ve
m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ dir.

Buna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Kosinüs teoremi ardışık olarak iki kez uygulanıp ∣AC∣=7|AC| = 7 ve cos⁡(ADC^)=1/2\cos(\widehat{ADC}) = 1/2 elde edildikten sonra, karşılıklı açılar toplamı 180∘180^\circ olan bu kirişler dörtgeninde köşegenlerin çarpımı karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğundan ∣BD∣|BD| uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde ∣AC∣|AC| uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ)
∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−12)|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AC∣2=9+25+15=49  ⟹  ∣AC∣=7 birim|AC|^2 = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ birim}
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen ABCABC üçgeninin üçüncü kenar uzunluğunu hesaplamak.
2
ADCADC üçgeninde ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡(ADC^)7^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(\widehat{ADC})
49=64+9−48cos⁡(ADC^)49 = 64 + 9 - 48 \cos(\widehat{ADC})
49=73−48cos⁡(ADC^)  ⟹  48cos⁡(ADC^)=24  ⟹  cos⁡(ADC^)=1249 = 73 - 48 \cos(\widehat{ADC}) \implies 48 \cos(\widehat{ADC}) = 24 \implies \cos(\widehat{ADC}) = \frac{1}{2}
Buradan m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ bulunur.
Üç kenar uzunluğu bilinen ADCADC üçgeninin tepe açısını belirlemek.
3
ABCDABCD dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı incelenerek kirişler dörtgeni olup olmadığı kontrol edilir.
m(ABC^)+m(ADC^)=120∘+60∘=180∘m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ
Karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğu için ABCDABCD dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olmalıdır.
4
Kirişler dörtgeninde köşegen uzunluğu bağıntısı (Ptolemy teoremi) uygulanarak ∣BD∣|BD| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣⋅∣BD∣=∣AB∣⋅∣CD∣+∣BC∣⋅∣AD∣|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|
7⋅∣BD∣=3⋅3+5⋅87 \cdot |BD| = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 8
7⋅∣BD∣=9+40=49  ⟹  ∣BD∣=7 birim7 \cdot |BD| = 9 + 40 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim}

(Alternatif olarak: Kirişler dörtgeninde cos⁡(DAB^)=cos⁡(BAC^+CAD^)=12  ⟹  m(DAB^)=60∘\cos(\widehat{DAB}) = \cos(\widehat{BAC} + \widehat{CAD}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{DAB}) = 60^\circ bulunur. Ardından ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi ile:
∣BD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅cos⁡(60∘)=9+64−24=49  ⟹  ∣BD∣=7 birim|BD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 64 - 24 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim} elde edilir.)
Kirişler dörtgeni kuralları veya trigonometrik toplam formülleriyle bilinmeyen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs teoremi yardımıyla bir üçgende kenar ve açılar arasındaki ilişkiler belirlenebilir. Karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olan dörtgenler kirişler dörtgenidir ve bu dörtgenlerde köşegenler ile kenarlar arasında Ptolemy (Batlamyus) bağıntısı geçerlidir.
Soru 17Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣BC∣=12 birim|BC| = 12\text{ birim} ve ∣AC∣=14 birim|AC| = 14\text{ birim} olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=7 birim|CD| = 7\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerinde ∣CE∣=10 birim|CE| = 10\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası işaretleniyor. Buna göre, DD ve EE noktaları arasındaki uzaklık (∣DE∣|DE|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

D ve E noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi yardımıyla cos⁡C=57\cos C = \frac{5}{7} olarak elde edilir. Ardından CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57=49|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7} = 49 bulunur. Buradan karekök alınarak ∣DE∣=7 birim|DE| = 7\text{ birim} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C
102=142+122−2⋅14⋅12⋅cos⁡C10^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos C
100=196+144−336⋅cos⁡C100 = 196 + 144 - 336 \cdot \cos C
336⋅cos⁡C=240  ⟹  cos⁡C=240336=57336 \cdot \cos C = 240 \implies \cos C = \frac{240}{336} = \frac{5}{7}
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni kullanabilmek için ortak olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣|DE| hesaplanır.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡C|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos C
∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7}
∣DE∣2=49+100−100|DE|^2 = 49 + 100 - 100
∣DE∣2=49  ⟹  ∣DE∣=7 birim|DE|^2 = 49 \implies |DE| = 7\text{ birim}
CDCD ve CECE kenar uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüs değeri bilindiği için doğrudan karşılarındaki DEDE kenar uzunluğu bulunabilir.

Anahtar Kavram

İki farklı üçgende ortak açıyı kullanarak Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 18Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde AA, BB, CC ve DD noktaları verilmiştir. CC, DD ve BB noktaları doğrusaldır.

∣AC∣=3 birim∣AB∣=7 birim∣BC∣=5 birim\begin{aligned} |AC| &= 3\text{ birim} \\ |AB| &= 7\text{ birim} \\ |BC| &= 5\text{ birim} \end{aligned}

[BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=2 birim|CD| = 2\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası belirlenmiştir.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19\sqrt{19}

Cevap

Kosinüs Teoremi yardımıyla ∣AD∣=19|AD| = \sqrt{19} birim olarak bulunur.
Büyük üçgende uygulanan Kosinüs Teoremi ile ortak CC açısının kosinüsü cos⁡C=−1/2\cos C = -1/2 olarak bulunur. Bu değer, ADCADC üçgeninde tekrar Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazılarak ∣AD∣2=19|AD|^2 = 19 ve dolayısıyla ∣AD∣=19|AD| = \sqrt{19} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin tamamında CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C formülünden,
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡C7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C
49=9+25−30cos⁡C49 = 9 + 25 - 30 \cos C
49=34−30cos⁡C49 = 34 - 30 \cos C
30cos⁡C=−15  ⟹  cos⁡C=−1230 \cos C = -15 \implies \cos C = -\frac{1}{2} elde edilir.
ADCADC üçgeninde aranan kenarı bulabilmek için öncelikle ortak olan CC açısının kosinüs değerinin belirlenmesi gerekir.
2
ADCADC üçgeninde [CD][CD] kenarına komşu olan CC açısı kullanılarak Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣AC∣2+∣CD∣2−2⋅∣AC∣⋅∣CD∣⋅cos⁡C|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |CD| \cdot \cos C formülünden,
∣AD∣2=32+22−2⋅3⋅2⋅(−12)|AD|^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AD∣2=9+4−12⋅(−12)|AD|^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AD∣2=13+6=19  ⟹  ∣AD∣=19|AD|^2 = 13 + 6 = 19 \implies |AD| = \sqrt{19} birim elde edilir.
İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde, bilinmeyen üçüncü kenar uzunluğu bu yolla doğrudan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →

Bir limandan aynı anda hareket eden iki gemiden birincisi Kuzey 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 3 mil hızla, ikincisi ise Güney 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 5 mil hızla doğrusal olarak yol almaktadır. Buna göre, hareketlerinden 2 saat sonra bu iki gemi arasındaki en kısa uzaklık kaç mildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Gemiler arasındaki en kısa uzaklık 14 mildir.
Gemilerin aldıkları mesafeler 6 mil ve 10 mil olup aralarındaki açı 120∘120^\circ dir. Kosinüs Teoremi formülü uygulandığında d2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡(120∘)d^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) eşitliğinden d2=196d^2 = 196 ve buradan en kısa uzaklık 14 mil olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gemilerin 2 saatlik süre sonunda ulaştıkları noktaların limana olan uzaklıklarını hesaplamak.
Birinci gemi 6 mil, ikinci gemi 10 mil yol almıştır.
Mesafe formülü (Mesafe = Hız x Zaman) kullanılarak gemilerin limandan olan uzaklıkları belirlenir.
2
İki geminin rotaları arasındaki açıyı belirlemek.
Rotalar arasındaki açı 120∘120^\circ dir.
Kuzey-Güney doğrusal hattından (180∘180^\circ) doğuya doğru yapılan 30∘30^\circ lik sapmalar çıkarılarak aradaki açı bulunur.
3
Kosinüs Teoremi yardımıyla gemiler arasındaki mesafeyi bulmak.
d2=196  ⟹  d=14d^2 = 196 \implies d = 14 mil.
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende bilinmeyen karşı kenar�� hesaplamak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 20Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} dir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣BD∣=3 birim|BD| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası alınıyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 333\sqrt{3}

Cevap

Doğru cevap 333\sqrt{3} birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi ile elde edilen cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2} değeri, ABDABD üçgeninde yerine yazıldığında x2=27x^2 = 27 denklemi elde edilir ve buradan doğru uzunluk 333\sqrt{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük üçgen olan ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak BB açısının kosinüs değerini bulma.
cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡B|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos B formülünden 72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡B  ⟹  49=34−30cos⁡B  ⟹  30cos⁡B=−15  ⟹  cos⁡B=−127^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos B \implies 49 = 34 - 30\cos B \implies 30\cos B = -15 \implies \cos B = -\frac{1}{2} elde edilir.
2
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunu hesaplama.
x=33x = 3\sqrt{3}
∣AD∣2=∣AB∣2+∣BD∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BD∣⋅cos⁡B|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos B formülünden x2=32+32−2⋅3⋅3⋅(−12)  ⟹  x2=18+9=27  ⟹  x=33x^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \implies x^2 = 18 + 9 = 27 \implies x = 3\sqrt{3} birim bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Sayfa 1 / 2Sonraki