Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKosinüs Teoremi

Şekildeki ABCDABCD kirişler dörtgeninde [AC][AC] köşegendir.

∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim},
∣BC∣=1 birim|BC| = 1\text{ birim},
∣CD∣=4 birim|CD| = 4\text{ birim} ve
∣DA∣=5 birim|DA| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    13\sqrt{13}
  2. 21\sqrt{21}Cevap
  3. C
    11\sqrt{11}
  4. D
    61\sqrt{61}
  5. E
    71\sqrt{71}

Cevap

Köşegen uzunluğu 21\sqrt{21} birimdir.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(ADC^)=αm(\widehat{ADC}) = \alpha iken m(ABC^)=180∘−αm(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha olur. Kosinüs Teoremi her iki üçgene uygulandığında sırasıyla ∣AC∣2=41−40cos⁡α|AC|^2 = 41 - 40\cos\alpha ve ∣AC∣2=17+8cos⁡α|AC|^2 = 17 + 8\cos\alpha (çünkü cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha) denklemleri elde edilir. Bu iki denklem eşitlendiğinde 48cos⁡α=2448\cos\alpha = 24 ve buradan cos⁡α=1/2\cos\alpha = 1/2 bulunur. Bulunan değer yerine yerleştirildiğinde köşegen uzunluğunun karesi 2121 birimkare, kendisi ise kök 21 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kirişler dörtgeninin özelliğini kullanarak karşılıklı açıları tanımlamak.
m(ADC^)=αm(\widehat{ADC}) = \alpha olsun. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(ABC^)=180∘−αm(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha olur.
Karşılıklı açıların toplamının 180∘180^\circ olması, trigonometrik indirgemede birbirini bütünleyen açıların kosinüs değerlerinin zıt işaretli olmasını sağlar.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅cos⁡α=41−40cos⁡α|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos\alpha = 41 - 40\cos\alpha
Köşegen uzunluğunu α\alpha açısı cinsinden ifade etmek için kenar uzunlukları 55 ve 44 olan ��çgende teorem uygulanır.
3
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak ve bütünler açı indirgemesini yapmak.
∣AC∣2=42+12−2⋅4⋅1⋅cos⁡(180∘−α)=17−8(−cos⁡α)=17+8cos⁡α|AC|^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 17 - 8(-\cos\alpha) = 17 + 8\cos\alpha
İkinci bölgedeki bir açının kosinüsünün zıt işaretlisine e��it olmasından dolayı, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha eşitliği kullanılır.
4
Elde edilen iki farklı ∣AC∣2|AC|^2 ifadesini birbirine eşitleyerek cos⁡α\cos\alpha değerini bulmak.
41−40cos⁡α=17+8cos⁡α⇒24=48cos⁡α⇒cos⁡α=1241 - 40\cos\alpha = 17 + 8\cos\alpha \Rightarrow 24 = 48\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}
Aynı köşegen uzunluğunun iki farklı ifadesi eşitlenerek bilinmeyen açının kosinüsüne ulaşılır.
5
Bulunan kosinüs değerini denklemlerden birinde yerine yazıp köşegen uzunluğunu hesaplamak.
∣AC∣2=41−40⋅(12)=41−20=21⇒∣AC∣=21|AC|^2 = 41 - 40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 41 - 20 = 21 \Rightarrow |AC| = \sqrt{21}
Köşegen uzunluğunun karesi olan 2121 değerinin karekökü alınarak nihai sonuca varılır.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler olması özelliğinin Kosinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme kuralları ile birleştirilmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru