Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYatay ve Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

Sürtünmelerin önemsenmediği dü��ey düzlemde, bir ucundan tavana sabitlenmiş LL uzunluğundaki hafif bir ipin ucuna bağlı noktasal bir cisim, ip yatay konumda tutulurken serbest bırakılmaktadır. Buna göre, cismin aşağı doğru hareketi sırasında ivme vektörünün tamamen yatay olduğu anda ipin düşey doğrultuyla yaptığı açının kosinüsünün 13\frac{1}{\sqrt{3}} olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

İfade doğrudur. İvme vektörünün tamamen yatay olduğu anda ipin düşey doğrultuyla yaptığı açının kosinüsü 13\frac{1}{\sqrt{3}} olur.
İvmenin yatay olması, düşeydeki net kuvvetin sıfır olmasını gerektirir (Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg). Enerji korunumu ve merkezcil kuvvet denklemleri birleştirildiğinde ip gerilmesi T=3mgcos⁡θT = 3mg\cos\theta olarak bulunur. Bu iki ifadenin ortak çözümü bizi cos⁡θ=13\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} sonucuna ulaştırır, dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin yatay konumdan serbest bırakıldıktan sonra düşey doğrultuyla θ\theta açısı yaptığı andaki hızını bulmak için mekanik enerjinin korunumunu uygulayın.
mgLcos⁡θ=12mv2  ⟹  v2=2gLcos⁡θmgL\cos\theta = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gL\cos\theta
Cisim aşağı doğru hareket ettikçe kaybettiği potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür.
2
Cisme merkez doğrultusunda etki eden net kuvveti yazarak çembersel hareket dinamiği denklemini oluşturun.
T−mgcos⁡θ=mv2LT - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{L}
Çembersel yörüngede merkezcil ivmeyi sağlayan net kuvvet, ip gerilmesi ile ağırlığın bu doğrultudaki bileşeninin farkıdır.
3
Enerji korunumundan elde edilen v2v^2 değerini dinamik denklemde yerine koyarak ip gerilmesi TT'yi açıya bağlı olarak çekin.
T=mgcos⁡θ+m2gLcos⁡θL=3mgcos⁡θT = mg\cos\theta + m\frac{2gL\cos\theta}{L} = 3mg\cos\theta
İp gerilmesini cismin konumunu belirten θ\theta açısının fonksiyonu olarak ifade etmek için.
4
Cismin ivme vektörünün tamamen yatay olması koşulunu düşey doğrultudaki kuvvet dengesini yazarak uygulayın.
Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg
Net ivmenin yatay olması, düşey doğrultudaki net kuvvetin sıfır olmasını gerektirir (Fnet,y=0F_{net,y} = 0).
5
Elde edilen ip gerilmesi ifadesini düşey denge denkleminde yerine yazarak açının kosinüs değerini bulun.
(3mgcos⁡θ)cos⁡θ=mg  ⟹  3cos⁡2θ=1  ⟹  cos⁡θ=13(3mg\cos\theta)\cos\theta = mg \implies 3\cos^2\theta = 1 \implies \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}
İvmenin tamamen yatay olduğu andaki kosinüs değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Düşey düzlemde düzgün olmayan çembersel harekette enerji korunumu, dinamik denklemler ve ivme vektörünün bileşenlerinin analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yatay ve Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

Bu konudan daha fazla soru