Examkin

Soru

Zorluk: ZorYatay ve Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

Sürtünmesiz iç yüzeyi küresel olan RR yarıçaplı bir kâsenin içinde, mm kütleli noktasal bir cisim kâsenin düşey simetri ekseni etrafında yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Cismin kâsenin en alt noktasından yüksekliği hh olup kâsenin cisim üzerine uyguladığı normal tepki kuvvetinin büyüklüğü NN'dir.

Buna göre, cismin açısal hızının büyüklüğünü (ω\omega) veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
(g: yerçekimi ivmesidir; cismin boyutları önemsizdir.)

  1. gR−h\sqrt{\frac{g}{R-h}}Cevap
  2. B
    gh\sqrt{\frac{g}{h}}
  3. C
    gR\sqrt{\frac{g}{R}}
  4. D
    g(R−h)R2\sqrt{\frac{g(R-h)}{R^2}}
  5. E
    gRR−h\sqrt{\frac{gR}{R-h}}

Cevap

Açısal hızın büyüklüğü, yerçekimi ivmesinin kâsenin yarıçapı ile cismin yüksekliği arasındaki farka oranının kareköküne eşittir.
Doğru seçenekte belirtilen ifade, serbest cisim diyagramı üzerinde yazılan düşey doğrultudaki kuvvet dengesi (Ncos⁡θ=mgN \cos\theta = mg) ile yatay doğrultudaki merkezcil kuvvet tanımının (Nsin⁡θ=mω2Rsin⁡θN \sin\theta = m \omega^2 R \sin\theta) ortak çözümünden elde edilmiştir. Kürenin geometrisinden gelen cos⁡θ=(R−h)/R\cos\theta = (R-h)/R ilişkisi kullanılarak açısal hız ω=g/(R−h)\omega = \sqrt{g/(R-h)} olarak doğru bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Cisme etki eden kuvvetleri belirleyip serbest cisim diyagramını oluşturun.
Cisme etki eden kuvvetler: Düşey doğrultuda aşağı doğru yerçekimi kuvveti (mgmg) ve küresel yüzeye dik, merkez O noktasına doğru yönelmiş normal tepki kuvvetidir (NN).
Dinamik denklemlerini yazabilmek için cisme etki eden tüm net kuvvetleri belirlemek gerekir.
2
Düşey doğrultudaki kuvvet dengesini yazın.
Cisim yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yaptığından düşey doğrultuda ivmesi sıfırdır. Bu nedenle, normal tepki kuvvetinin düşey bileşeni yerçekimi kuvvetine eşit olmalıdır: Ncos⁡θ=mgN \cos\theta = mg (Burada θ\theta, yarıçap doğrusunun düşey simetri ekseniyle yaptığı açıdır).
Yatay düzlemde kalan cismin düşeyde dengede olması gerekir.
3
Yatay doğrultudaki net kuvveti merkezcil kuvvet olarak tanımlayın.
Normal tepki kuvvetinin yatay bileşeni, cismin dairesel hareket yapmasını sağlayan merkezcil kuvvettir: Nsin⁡θ=mω2rN \sin\theta = m \omega^2 r. Çembersel yörüngenin yarıçapı r=Rsin⁡θr = R \sin\theta olduğundan, Nsin⁡θ=mω2Rsin⁡θ  ⟹  N=mω2RN \sin\theta = m \omega^2 R \sin\theta \implies N = m \omega^2 R bağıntısı elde edilir.
Merkezcil kuvvet, cismi dairesel yörüngede tutan yatay doğrultudaki net kuvvettir.
4
Tepki kuvvetini yok ederek açısal hızı kâsenin geometrik değişkenleri cinsinden çözün.
N=mω2RN = m \omega^2 R ifadesi düşey denge denkleminde yerine konursa: (mω2R)cos⁡θ=mg  ⟹  ω2Rcos⁡θ=g(m \omega^2 R) \cos\theta = mg \implies \omega^2 R \cos\theta = g olur. Kâsenin geometrisinden cos⁡θ=R−hR\cos\theta = \frac{R-h}{R} olduğu görülür. Bu değer yerine yazıldığında: ω2R(R−hR)=g  ⟹  ω2(R−h)=g  ⟹  ω=gR−h\omega^2 R \left(\frac{R-h}{R}\right) = g \implies \omega^2 (R-h) = g \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{R-h}} bulunur.
Tepki kuvvetini eleyerek açısal hızı yerçekimi ivmesi ve kâse geometrisine bağlamak için bu adımlar uygulanır.

Anahtar Kavram

Yatay Düzlemde Düzgün Çembersel Hareket ve Kuvvet Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yatay ve Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

Bu konudan daha fazla soru