Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusuna diktir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

a = 5 gerçel sayısıdır.
Parabolün ve eğrinin ilgili noktalardaki türevleri teğet doğrularının eğimlerini verir. Bu doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerin çarpımı -1'e eşitlenerek a = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3 parabolünün x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla ifade etmek.
f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a olduğundan x=2x = 2 noktasındaki teğetin eğimi m1=f′(2)=4−am_1 = f'(2) = 4 - a olarak bulunur.
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2 eğrisinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
g′(x)=3x2−6x+4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 olduğundan x=1x = 1 noktasındaki teğetin eğimi m2=g′(1)=3(1)2−6(1)+4=1m_2 = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1 olarak bulunur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi, g(x)g(x) fonksiyonunun bu noktadaki türevidir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması şartını kullanarak aa değerini hesaplamak.
m1⋅m2=−1  ⟹  (4−a)⋅1=−1  ⟹  4−a=−1  ⟹  a=5m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (4 - a) \cdot 1 = -1 \implies 4 - a = -1 \implies a = 5 elde edilir.
Dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğimleri ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru