Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde D∈[BC]D \in [BC] olacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

3∣BD∣=2∣DC∣3|BD| = 2|DC|
m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ
m(DAC^)=45∘m(\widehat{DAC}) = 45^\circ

olduğuna göre, ∣AB∣∣AC∣\frac{|AB|}{|AC|} oranı kaçtır?

  1. A
    23\frac{\sqrt{2}}{3}
  2. 223\frac{2\sqrt{2}}{3}Cevap
  3. C
    324\frac{3\sqrt{2}}{4}
  4. D
    2\sqrt{2}
  5. E
    322\frac{3\sqrt{2}}{2}

Cevap

223\frac{2\sqrt{2}}{3}
Ortak kenara ve bütünler açılara sahip iki üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında, kenarların oranı taban parçalarının oranı ile açıların sinüs değerlerinin oranının çarpımına eşittir. Verilen oranlar yerine yazıldığında sonuç 223\frac{2\sqrt{2}}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Komşu iki üçgende Sinüs Teoremi bağıntılarını yazma
ABDABD üçgeninde: ∣AB∣sin⁡(ADB^)=∣BD∣sin⁡30∘  ⟹  sin⁡(ADB^)=∣AB∣⋅sin⁡30∘∣BD∣\frac{|AB|}{\sin(\widehat{ADB})} = \frac{|BD|}{\sin 30^\circ} \implies \sin(\widehat{ADB}) = \frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|}

ADCADC üçgeninde: ∣AC∣sin⁡(ADC^)=∣DC∣sin⁡45∘  ⟹  sin⁡(ADC^)=∣AC∣⋅sin⁡45∘∣DC∣\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ADC})} = \frac{|DC|}{\sin 45^\circ} \implies \sin(\widehat{ADC}) = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}
Her iki üçgenin ortak olan kenarı ve bütünler açılarından yararlanmak için Sinüs Teoremi uygulanır.
2
Bütünler açıların sinüs eşitliğini kullanarak bağıntıları birleştirme
ADB^+ADC^=180∘\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^\circ olduğundan sin⁡(ADB^)=sin⁡(ADC^)\sin(\widehat{ADB}) = \sin(\widehat{ADC}) olur. Buradan:

∣AB∣⋅sin⁡30∘∣BD∣=∣AC∣⋅sin⁡45∘∣DC∣\frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|} = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣⋅sin⁡45∘sin⁡30∘\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}
Birbirini 180∘180^\circ ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir.
3
Verilen oranları ve trigonometrik değerleri yerine yazarak sonucu bulma
3∣BD∣=2∣DC∣  ⟹  ∣BD∣∣DC∣=233|BD| = 2|DC| \implies \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3} değerini ve sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini denklemde yerine koyalım:

∣AB∣∣AC∣=23⋅2212=223\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
Soruda verilen sayısal veriler ve standart açıların sinüs değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak kenara sahip komşu üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulamaları
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru