Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde, [AD][AD] doğru parçası AA açısının açıortayıdır. ABDABD üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R1=3R_1 = \sqrt{3} birim, ACDACD üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R2=23R_2 = 2\sqrt{3} birim ve AD=23AD = 2\sqrt{3} birimdir. Buna g��re, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevap: 3 birim

Cevap

3
Sinüs Teoremi iki farklı alt üçgende (ABDABD ve ACDACD) uygulanarak önce üçgenin iç açıları (B=90∘B = 90^\circ, C=30∘C = 30^\circ ve A=60∘A = 60^\circ) belirlenir. Ardından açıortay özelliği ve Sinüs Teoremi kullanılarak BCBC kenar uzunluğu 333\sqrt{3} olarak hesaplanır. Son adımda, ana üçgende Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı R=3R = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak BB açısı bulunur.
sin⁡B=1  ⟹  m(B^)=90∘\sin B = 1 \implies m(\widehat{B}) = 90^\circ
ABDABD üçgeninde ADsin⁡B=2R1\frac{AD}{\sin B} = 2R_1 eşitliğinden sin⁡B=2323=1\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 elde edilir.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak CC açısı bulunur.
sin⁡C=12  ⟹  m(C^)=30∘\sin C = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{C}) = 30^\circ
ACDACD üçgeninde ADsin⁡C=2R2\frac{AD}{\sin C} = 2R_2 eşitliğinden sin⁡C=2343=12\sin C = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2} elde edilir. BB açısı dik açı olduğundan CC açısı dar açı olmalıd��r, dolayısıyla m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olur.
3
ABCABC üçgeninin iç açılar toplamından AA açısı bulunur.
m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
ABCABC üçgeninde iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan, m(BAC^)=180∘−(90∘+30∘)=60∘m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ bulunur.
4
ADAD açıortay olduğundan ve Sinüs Teoremi yardımıyla BDBD ve CDCD uzunlukları bulunur.
BC=33BC = 3\sqrt{3} birim
ADAD açıortay olduğu için m(BAD^)=m(CAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) = 30^\circ olur. ABDABD üçgeninde BDsin⁡30∘=2R1  ⟹  BD=23⋅12=3\frac{BD}{\sin 30^\circ} = 2R_1 \implies BD = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} ve ACDACD üçgeninde CDsin⁡30∘=2R2  ⟹  CD=43⋅12=23\frac{CD}{\sin 30^\circ} = 2R_2 \implies CD = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} elde edilir. Buradan BC=BD+CD=33BC = BD + CD = 3\sqrt{3} birim bulunur.
5
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı RR bulunur.
R=3R = 3 birim
ABCABC üçgeninde BCsin⁡A=2R  ⟹  33sin⁡60∘=2R  ⟹  3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru