Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir.

Bu üçgenin aa kenar uzunluğu ile AA açısı arasında,
2R⋅cos⁡(90∘+A)+4a=302R \cdot \cos(90^\circ + A) + 4a = 30
eşitliği geçerli olduğuna göre, aa kaç birimdir?
  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

10
Trigonometrik indirgeme kurallarına göre cos⁡(90∘+A)=−sin⁡A\cos(90^\circ + A) = -\sin A olur. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında −2Rsin⁡A+4a=30-2R\sin A + 4a = 30 elde edilir. Sinüs Teoremi gereğince bir üçgende 2Rsin⁡A=a2R\sin A = a bağıntısı mevcut olduğundan, denklem −a+4a=30-a + 4a = 30 şeklini alır. Buradan 3a=303a = 30 ve a=10a = 10 birim olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik indirgeme kuralı uygulanır.
cos⁡(90∘+A)=−sin⁡A\cos(90^\circ + A) = -\sin A
Koordinat sisteminin ikinci bölgesinde kosinüs fonksiyonu negatif değer alır ve 90∘90^\circ açısı kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse dönüşür.
2
Elde edilen ifade verilen denklemde yerine yazılır.
−2R⋅sin⁡A+4a=30-2R \cdot \sin A + 4a = 30
Denklemi tek değişkenli hale getirmek için indirgenmiş trigonometrik ifade yerine konur.
3
Sinüs Teoremi bağıntısı denklemde yerine yazılır.
−a+4a=30-a + 4a = 30
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A eşitliği geçerlidir.
4
Denklem çözülerek kenar uzunluğu bulunur.
3a=30  ⟹  a=103a = 30 \implies a = 10
Benzer terimler toplanarak bilinmeyen kenar uzunluğu yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru